填充维度

设${\displaystyle (X,d)}$ 是度量空间且${\displaystyle S\subseteq X}$ ，那么对${\displaystyle s\geq 0}$ ，定义${\displaystyle S}$ 的${\displaystyle s}$ 维的填充前测度（packing pre-measure）为

${\displaystyle {\displaystyle P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\delta \downarrow 0}\left\{\sum _{i\in I}\mathrm {diam} (B_{i})^{s}\left|{\begin{matrix}|I|\leq |\mathbb {N} |,\\{{\text{球}}\;\;B_{i}\cap B_{j}=\varnothing \;\forall i,j\in I},\\{\text{diam}}(B_{i})\leq \delta ,B_{i}{\text{ 的 圓 心 }}\in S\;\forall i\in I\end{matrix}}\right.\right\}.}}$ 

上式只是一个前测度，而非真正的测度，${\displaystyle S}$ 的${\displaystyle s}$ 维填充测度的定义是

${\displaystyle {\displaystyle P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{s}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},|J|\leq |N|\right\},}}$ 

即填充测度是其可数个覆盖的填充前测度和的最大下界。

如此一来，${\displaystyle S}$ 的填充维度定义为

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {P} }(S)&=\inf \left\{s\geq 0|P^{s}(S)=0\right\}\\&=\sup\{s\geq 0|P^{s}(S)=+\infty \}.\end{aligned}}}$ 

示例

以下示例是填充维度与郝斯多夫维度不相等最简单的情况。

${\displaystyle (a_{n})}$ 考虑序列${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ 使得${\displaystyle a_{0}}$ 且${\textstyle 0<a_{n+1}<a_{n}/2}$ 。定义一系列的紧致集${\textstyle E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$ 如下：

• 设${\textstyle E_{0}=[0,1]}$ 。
• 对每个${\textstyle E_{n}}$ （${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ）的线段，去除中间长为${\textstyle a_{n}-2a_{n+1}}$ 的开区间，以得到两个长为长为${\textstyle a_{n+1}}$ 的闭区间。

现在定义${\textstyle K=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$ 。可以证明

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,,\\\dim _{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,.\end{aligned}}}$ 

容易知道对给定的数${\displaystyle 0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1}$ ，我们可以取序列${\displaystyle (a_{n})}$ 使得上面两个维度分别是${\textstyle d_{1},d_{2}}$ 。

• 郝斯多夫维度
• 计盒维度

• Tricot, Jr., Claude. Two definitions of fractional dimension. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1982, 91 (1): 57–74. doi:10.1017/S0305004100059119.