拟对称映射

数学上，度量空间之间的拟对称映射，是双利普希茨映射的一个推广。双利普希茨映射把一个集合的直径扩大或缩小不超过某常数倍，而拟对称映射就适合一个较弱的几何性质，就是保持了集合的相对大小：如果集合A和B有直径t，其间距离不超过t，那么这两个集合的大小的比例改变不超过某常数倍。拟对称映射和拟共形映射也有关系，因为在很多情况这两者其实等价。^[1]

定义

设(X, d_X)和(Y, d_Y)是度量空间。一个同胚 f:X → Y称为η-拟对称，若有一个递增函数η : [0, ∞) → [0, ∞)，使得对X中任何三个不同的点x, y, z都有

{\frac {d_{Y}(f(x),f(y))}{d_{Y}(f(x),f(z))}}\leq \eta \left({\frac {d_{X}(x,y)}{d_{X}(x,z)}}\right).

基本性质

逆映射是拟对称的：

若f : X → Y是可逆η-拟对称映射，则其逆映射是η₁-拟对称，其中η₁(t) = 1/η(1/t).

拟对称映射保持集合的相对大小：

若A和B是X的子集，A是B的子集，则

{\frac {1}{2\eta ({\frac {\mathrm {diam} B}{\mathrm {diam} A}})}}\leq {\frac {\mathrm {diam} f(B)}{\mathrm {diam} f(A)}}\leq \eta \left({\frac {\mathrm {diam} B}{\mathrm {diam} A}}\right).

参考

^ Heinonen, Juha. Lectures on Analysis on Metric Spaces. Universitext. New York: Springer-Verlag. 2001: x+140. ISBN 0-387-95104-0.

[1] Heinonen, Juha. Lectures on Analysis on Metric Spaces. Universitext. New York: Springer-Verlag. 2001: x+140. ISBN 0-387-95104-0.

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