库拉托夫斯基闭包公理

拓朴空间 ${\displaystyle (X,\operatorname {cl} )}$  是集合 ${\displaystyle X}$  及作用在 ${\displaystyle X}$  的幂集上的闭包算子

${\displaystyle \operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$ 。

闭包算子需符合以下条件：

1. ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {cl} (A)\!}$ 
2. ${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {cl} (A))=\operatorname {cl} (A)\!}$  (等幂性)
3. ${\displaystyle \operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)\!}$ 
4. ${\displaystyle \operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing \!}$ 

如果不要求第二个公理即幂等公理，则剩下的公理定义了预闭包算子。

从由闭包算子定义的拓扑空间开始。A 称为在${\displaystyle (X,\operatorname {cl} )}$  是闭合的，若${\displaystyle A=\operatorname {cl} (A)}$ 。亦即，X 的闭集是闭包算子的不动点。

若称“开集”为其补集为闭集的集合，则所有开集会形成一个拓扑，证明如下：

1. 由公理4.可知${\displaystyle \varnothing \!}$ 为闭集；由公理1.及闭包算子的闭合性可知X 为闭集。因此，X 及${\displaystyle \varnothing \!}$ （分别为${\displaystyle \varnothing \!}$ 及X 的补集）为开集。
2. 令X 的子集${\displaystyle {A_{i}},i\in \Lambda \!}$ （其中${\displaystyle \Lambda }$ 为任意集合）皆为开集，由公理1.及闭集的定义可知${\displaystyle \bigcup _{i\in \Lambda }A_{i}}$ 为开集。
3. 令X 的子集A 及B 为开集，由公理3.可知${\displaystyle A\cap B}$ 为开集。

相反地，由开集定义的拓扑也可推导至由闭包算子定义的拓扑空间。令外，也可得出下列等价的定义：

两个拓扑空间之间的函数

${\displaystyle f:(X,\operatorname {cl} )\to (X',\operatorname {cl} ')}$ 

称为连续的，若对所有X 的子集A'，

${\displaystyle f(\operatorname {cl} (A))\subset \operatorname {cl} '(f(A))}$ 

一个点称之为在${\displaystyle (X,\operatorname {cl} )}$ 内是接近A 的，若${\displaystyle p\in \operatorname {cl} (A)}$ 。