在数学中,升链条件(Ascending Chain Condition)和降链条件(Descending Chain Condition)是一些代数结构具有的性质,例如交换环中的理想。
定义
偏序集 满足升链条件,如果在 中不存在严格升序列
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其中的 都是 中的元素。等价地, 中任意不严格升序列
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最终都是稳定的,即存在一个正整数 使得
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类似地, 满足降链条件如果在 中不存在严格降序列或者每个不严格降序列最终都是稳定的。
性质
- 利用选择公理,偏序集 满足降链条件等价于 满足良基关系: 的每个非空子集都有一个极小元。满足良基关系的偏序集称为良序集。
- 类似地,偏序集 满足升链条件等价于 的每个非空子集都有一个极大元。
例子
正整数环 中的理想满足升链条件,其中理想是通过包含关系进行排序,于是 是一个诺特环。