贵金属比例

贵金属数是

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$ 

即二次方程式${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$ 的正根。

连分数

贵金属数的连分数表示是：

${\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]}$ 

数列的商的极限

黄金数（第1贵金属数）是斐波那契数列相邻两项的比的极限，白银数（第2贵金属数）是佩尔数列相邻两项的比的极限；一般地，也存在以第${\displaystyle n}$ 贵金属数为相邻两项的比的极限的数列。

数列${\displaystyle \{M_{k}\}}$ 的递推关系式

${\displaystyle M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}}$ 

一旦定义了此关系式，则在此之中，第${\displaystyle n}$ 贵金属数为${\displaystyle \mu }$ ，有

${\displaystyle M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}}$ 

成立。在这种情况下，这个序列的两个相邻项的商数在${\displaystyle K\rightarrow \infty }$ 收敛于${\displaystyle \mu }$ 。即

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu }$ 

成立。

• 黄金比例
• 白银比例
• 青铜比例