白银比例

白银比例的共轭数${\displaystyle 1-{\sqrt {2}}={\tfrac {-1}{\delta _{S}}}\sim -0.41\,}$ 其绝对值小于1，因此白银比例为皮索特-维贡伊拉卡文数（PV数），且白银比例是第二小的二次PV数（最小的是黄金比例）。白银分割的乘幂距最接近整数的距离为${\displaystyle {\frac {1}{\delta _{S}^{n}}}\sim 0.41^{n}\,}$ ，会趋近于0。

乘幂

以下列出白银比例的几个乘幂：

${\displaystyle \!\ \delta _{S}^{0}=[1]=1}$ 

${\displaystyle \delta _{S}^{1}=\delta _{S}+0=[2;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 2.41421}$ 

${\displaystyle \delta _{S}^{2}=2\delta _{S}+1=[5;1,4,1,4,1,\dots ]\approx 5.82842}$ 

${\displaystyle \delta _{S}^{3}=5\delta _{S}+2=[14;14,14,14,\dots ]\approx 14.07107}$ 

${\displaystyle \delta _{S}^{4}=12\delta _{S}+5=[33;1,32,1,32,\dots ]\approx 33.97056}$ 

乘幂的递回关系式如下：

${\displaystyle \!\ \delta _{S}^{n}=K_{n}\delta _{S}+K_{n-1}}$ 

其中

${\displaystyle \!\ K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$ 

因此可用上式得到以下乘幂的值：

${\displaystyle \!\ \delta _{S}^{5}=29\delta _{S}+12=[82;82,82,82,\dots ]\approx 82.01219}$ 

利用${\displaystyle K_{0}=1}$  及 ${\displaystyle K_{1}=2}$ 为初始条件，可以利用求解以下的递回关系式得到${\displaystyle K_{n}}$ 的解：

${\displaystyle \!\ K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$ 

${\displaystyle K_{n}}$ 可以表示为以下的式子

${\displaystyle \!\ K_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{(\delta _{S}^{n+1}-{(2-\delta _{S})}^{n+1})}}$ 

三角性质

白银比例和${\displaystyle {\tfrac {\pi }{8}}=22.5^{\circ }}$  的三角函数数值有关：

${\displaystyle \textstyle \sin {\frac {\pi }{8}}=\cos {\frac {3\pi }{8}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}={\sqrt {\frac {1}{2\delta _{s}}}}}$ 

${\displaystyle \textstyle \cos {\frac {\pi }{8}}=\sin {\frac {3\pi }{8}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}={\sqrt {\frac {\delta _{s}}{2}}}}$ 

${\displaystyle \textstyle \tan {\frac {\pi }{8}}=\cot {\frac {3\pi }{8}}={\sqrt {2}}-1={\frac {1}{\delta _{s}}}}$ 

${\displaystyle \textstyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\tan {\frac {3\pi }{8}}={\sqrt {2}}+1=\delta _{s}}$ 

边长为a的正八边形面积可以用下式表示：

${\displaystyle A=\textstyle 2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828427a^{2}.}$ 

依ISO 216的纸张尺寸其长宽之间的比例为${\displaystyle 1:{\sqrt {2}}}$ ，若其中切掉一块边长和长方形短边相同的正方形，剩下的长方形长宽比例为${\displaystyle 1:{\sqrt {2}}-1}$ ，也等于${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}:1}$ ，此比例和白银比例有关。若一长方形的纵横比为白银比例，此长方形有时会称为“白银长方形”，不过白银长方形也可以指纵横比为√2的长方形。

若将白银长方形切掉一块边长和长方形短边相同的正方形，剩下的会是白银长方形，再重复此步骤一次，会得到原来那一种白银长方形，但其比例为原来的${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$ 倍^[1]。

不过只有纵横比为${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 的长方形，其对半切开后可以得到二个纵横比例也是${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 的较小长方形。

白银分割和正八边形有关，若正八边形分成二个相同大小的等腰梯形及一个长方形，则长方形的纵横比恰为白银比例，且梯形的四边比例会是${\displaystyle 1:1:1:\delta _{S}}$ 。

若正八边形的边长为t，则其内切圆的直径为${\displaystyle \delta _{S}t}$ ，则面积为${\displaystyle 2\delta _{S}t^{2}}$ .^[1]。

• 埃里克·韦斯坦因. Silver Ratio. MathWorld.