皮索特-维贡伊拉卡文数

皮索特-维贡伊拉卡文数（Pisot–Vijayaraghavan number，简称皮索数或PV数）是指一大于1的实数代数整数，且其共轭代数数的绝对值小于1。皮索数是在1912年由数学家阿克塞尔·图厄发现，后来1919年戈弗雷·哈罗德·哈代在研究丢番图逼近时再度发现皮索数，但一直到1938年查理·皮索特（英语：Charles Pisot）的论文发表后，皮索数才广为人所知道。数学家维贡伊拉卡文（英语：Tirukkannapuram Vijayaraghavan）及拉斐尔·塞勒姆（英语：Raphael Salem）在1940年代有相关的研究，塞勒姆数（英语：Salem number）的概念就类似皮索数。

皮索数一个广为人知的特性就是其高次方以指数方式趋近整数。皮索特证明了以下的定理：若α > 1为一实数使以下数列

为平方可求和（square-summable）或ℓ2（其中||x||表示一实数x和最接近整数之间的距离），则α为皮索数（也是一代数整数）。依照皮索数的这一个特性，塞勒姆证明所有皮索数形成的集合S为一闭集合。其最小元素为一个包括三次方根的无理数，称为塑胶数。对于皮索数集合S的极限点有较多的了解，其中最小的元素就是黄金比例。

定义及性质

一个代数度n的代数整数是指一个n次不可约（英语：irreducible polynomial）整系数首一多项式P(x)的根α，P(x)即为α的最小多项式，其他的根则为α的共轭数。若 α > 1，且P(x)的其他根皆为绝对值小于1的实数或复数，都在复数平面中|x| = 1的单位圆盘中，则α就称为皮索特-维贡伊拉卡文数、皮索数或PV数。例如黄金比例φ ≈ 1.618为一个大于一的实代数整数，其共轭数−φ−1 ≈ −0.618小于1，因此φ为一皮索数，其最小多项式为x2 − x − 1。

参考资料

  • M.J. Bertin; A. Decomps-Guilloux, M. Grandet-Hugot, M. Pathiaux-Delefosse, J.P. Schreiber. Pisot and Salem Numbers. Birkhäuser. 1992. ISBN 3764326484. 
  • Peter Borwein. Computational Excursions in Analysis and Number Theory. CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag. 2002. ISBN 0-387-95444-9.  Chap. 3.
  • D.W. Boyd. Pisot and Salem numbers in intervals of the real line. Math. Comp. 1978, 32: 1244–1260. doi:10.2307/2006349. 
  • J.W.S. Cassels. An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 45. Cambridge University Press. 1957: 133–144. 
  • G. Hardy. A problem of diophantine approximation. Journal Ind. Math. Soc. 1919, 11: 205–243. 
  • C. Pisot. La répartition modulo 1 et nombres algébriques. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, II, Ser. 7. 1938: 205–248. 
  • A. Thue. Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann. Christiania Vidensk. selsk. Skrifter. 1912, 2 (20): 1–15. JFM 44.0480.04. 

外部链接