等角共轭

几何学中，设点 P 是三角形 ABC 平面上一点，作直线 PA、PB 和 PC 分别关于角 A 、B 和 C 的平分线的反射，这三条反射线必然交于一点^[1]，称此点为 P 关于三角形 ABC 的等角共轭。（这个定义只对点，不是对三角形 ABC 的边。）

点 P 的等角共轭

三角形内部点的等角共轭变换

点 P 的等角共轭点经常记作 P*，显然 P*的等角共轭点即为 P。

内心 I 的等角共轭点是自身。垂心 H 的等角共轭点是外心 O。重心的等角共轭点是类似重心 K。

在三线坐标中，如果 X = x : y : z 是不在三角形 ABC 边上的一点，那么它的等角共轭是 1/x : 1/y : 1/z。因此，X 的等角共轭有时也记作 X ⁻¹。三角形内部的点集 S 在三线乘法

(p : q : r) * (u : v : w) = pu : qv : rw，

下构成一个交换群。S 中任何一点 X 的逆是 X ⁻¹。

因为等角共轭是一个函数，从而我们可以讨论一个点集的等角共轭。譬如，直线的等角共轭是一条外接圆锥曲线；确切的，若直线交外接圆于 0、1或 2 点，其等角共轭分别为椭圆、抛物线或双曲线。外接圆的等角共轭是无穷远直线。一些有名的三次曲线（例如：Thompson 三次曲线、Darboux 三次曲线、Neuberg 三次曲线）是自等角共轭的，即如果 X 位于这些三次曲线上，那么X ⁻¹ 也在其上。