泰勒斯定理

证法一

以下证明主要使用两个定理：

• 三角形的内角和等于180°
• 等腰三角形的两个底角相等

设O为圆心，因为OA = OB = OC，所以△OAB和△OBC都是等腰三角形。因为等腰三角形底角相等，故有∠OBC = ∠OCB，且∠BAO = ∠ABO。设α = ∠BAO，β = ∠OBC。在△ABC中，因为三角形的内角和等于180°，所以有

${\displaystyle \alpha +\left(\alpha +\beta \right)+\beta =180^{\circ }}$ 

${\displaystyle {2}\alpha +{2}\beta =180^{\circ }}$ 

${\displaystyle {2}(\alpha +\beta )=180^{\circ }}$ 

${\displaystyle \therefore \angle ABC=\alpha +\beta =90^{\circ }.}$ 

证法二

泰勒斯定理也可以用三角学方法证明，证明如下：

令O =（0, 0）, A =（-1, 0）, C =（1, 0）。此时，B就是单位圆${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$ 上的一点。我们将通过证明AB与BC 垂直，即它们的斜率之积等于–1，来证明这个定理。计算AB和BC的斜率：

${\displaystyle m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}}$ 

${\displaystyle m_{BC}={\frac {y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}}$ 

并证明它们的积等于–1:

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\=&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{-\sin ^{2}\theta }}\\=&-1\end{aligned}}}$ 

注意以上证明过程中运用了毕达哥拉斯三角恒等式${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$ 。

逆定理的证明

此证明使用两线的向量形成直角三角形，当且仅当其内积为零。设有直角三角形ABC，和以AC为直径的圆O。设O在原点，以方便计算。则AB和BC的内积为：

${\displaystyle (A-B)\cdot (B-C)=(A-B)\cdot (B+A)=|A|^{2}-|B|^{2}=0}$ 

${\displaystyle |A|=|B|}$ 

故A和B与圆心等距，即B在圆上。

泰勒斯定理是“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”的一个特殊情况。

以下是泰勒斯定理的一个相关定理：

如果AC是一个圆的直径，则：

• 若B在圆内，则∠ABC > 90°
• 若B在圆上，则∠ABC = 90°
• 若B在圆外，则∠ABC < 90°

泰勒斯并非此定理的首名发现者，古埃及人和巴比伦人一定已知这特性，可是他们没有给出证明。