角平分线定理

角平分线定理（英语：Angle bisector theorem），或称内分比，斯霍腾定理，是一个几何学的定理，在三角形ABC中，由A点作一角平分线与BC交于D，那

图中：BD:DC = AB:AC

${\overline {AB}}:{\overline {AC}}={\overline {BD}}:{\overline {DC}}$

角平分线定理是分角定理中 $\angle BAD=\angle DAC$ 的情况， ${\frac {\overline {BD}}{\overline {CD}}}={\frac {{\overline {AB}}\sin \angle BAD}{{\overline {AC}}\sin \angle CAD}}={\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}$

证明

已知 ${\overline {AD}}$ 为 $\triangle ABC$ 的角平分线，且 ${\overline {AD}}$ 交线段 ${\overline {BC}}$ 于 $D$ 点，试证： ${\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}$

面积法

一条经过顶点，并与顶点的两条邻边的夹角相等的一条线段，是三角形的角平分线。

根据角平分线定义，知

\angle BAD=\angle CAD

；过顶点

A

作

{\overline {BC}}

上的高

{\overline {AH}}

因

D

至

{\overline {AB}}

与

{\overline {AC}}

的距离相等，故

\triangle ABD

之面积:

\triangle ADC

之面积=

{\overline {AB}}:{\overline {AC}}

(等高)

又

\triangle ABD

之面积:

\triangle ADC

之面积=

{\overline {BD}}:{\overline {DC}}

(同高

{\overline {AH}}

)

故

{\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}

，得证。

参见

角平分线长公式
外角平分线定理