角平分线长公式

在数学中，角平分线长公式是已知三角形三条边的长度时计算内角平分线长度的公式。在三角形 $\triangle {ABC}$ 中, 若将 $\angle A$ 的角平分线记为 $t_{a}$ , 且将a分为 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ , $\angle B$ 的角平分线记为 $t_{b}$ , 且将b分为 $b_{1}$ 、 $b_{2}$ , $\angle C$ 的角平分线记为 $t_{c}$ , 且将c分为 $c_{1}$ 、 $c_{2}$ , 那么它们长度可用如下公式计算：

公式1：

t_{a}=

{\frac {2}{b+c}}{\sqrt {bcs(s-a)}}

,

t_{b}=

{\frac {2}{c+a}}{\sqrt {cas(s-b)}}

,

t_{c}=

{\frac {2}{a+b}}{\sqrt {abs(s-c)}}

,

其中的 $s$ 是半周长。

公式2：

t_{a}=

{\sqrt {bc-a_{1}a_{2}}}

t_{b}=

{\sqrt {ac-b_{1}b_{2}}}

t_{c}=

{\sqrt {ab-c_{1}c_{2}}}

推导

三角形ABC以及关于角B的平分线

如右图，设 $BE$ 为 $\angle ABC$ 中 $\angle B$ 的平分线，交边 $AC$ 于E，则 $\angle ABE=\angle EBC$ ，BE= $BE=t_{b}$ 。下面证明角平分线长

t_{b}=

{\frac {2}{c+a}}{\sqrt {cas(s-b)}}

。

首先， $\angle AEB+\angle CEB=180$ °(互为邻补角)，因此有 $\sin \angle AEB=\sin \angle CEB$ 。

根据正弦定理，在 $\bigtriangleup {ABE}$ 中， ${\frac {\sin \angle ABE}{x}}={\frac {\sin \angle AEB}{c}}$ ，即 ${\frac {\sin \angle ABE}{\sin \angle AEB}}={\frac {x}{c}}$ 。同样地，在 $\bigtriangleup BCE$ 中， ${\frac {\sin \angle CBE}{y}}={\frac {\sin \angle CEB}{a}}$ ，也就是 ${\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle CEB}}={\frac {y}{a}}$ 。另一方面， $\sin \angle ABE=\sin \angle CBE$ ，并且 $\sin \angle AEB=\sin \angle CEB$ ，因此得到 ${\frac {x}{c}}={\frac {y}{a}}$ 。注意到 $x+y=b$ ，代入上式，消去 $x$ 之后就可得到 $y={\frac {ab}{c+a}}$ 。

接下来，在 $\bigtriangleup {BCE}$ 中，根据余弦定理，有：

t_{b}^{2}=a^{2}+y^{2}-2ay\cos \angle BCA

....(1)

然而

\cos \angle BCA={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}

，把

\cos \angle BCA

以及

y

的表达式代入(1)式中，得到

t_{b}^{2}=a^{2}+({\frac {ab}{c+a}})^{2}-2a({\frac {ab}{c+a}})({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}})

化简之后就可以得到角平分线长公式：

t_{b}^{2}={\frac {ca}{(c+a)^{2}}}(c^{2}+2ca+a^{2}-b^{2})={\frac {ca}{(c+a)^{2}}}(c+a+b)(c+a-b)

设s为半周长, 即

s={\frac {a+b+c}{2}}

，则可以将公式写成

t_{b}^{2}={\frac {ca}{(c+a)^{2}}}(2s)(2s-2b)

t_{b}={\frac {2}{c+a}}{\sqrt {cas(s-b)}}

同理,可证得其他两式。

参见

三角形
角平分线
正弦定理
余弦定理
中线长公式
角平分线定理