中线定理

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中线定理,又称阿波罗尼奥斯定理,是欧氏几何的定理,表述三角形两边和中线长度关系。它等价平行四边形恒等式

中线定理

对任意三角形 ,设 是线段 的中点, 为中线,则有如下关系:

 

证明

莱布尼茨标量函数约简,可以容易导出这性质:只需要在两个平方中引入 

 

得出

 

  的中点,因此  相反,可知式中两个标积抵消。又因 ,得出

 

另一个证法

这可能是阿波罗尼乌斯的证明方法,因为他不知道莱布尼茨函数。证明如下: 设 是从  的垂足,则  是直角三角形。用勾股定理可得

 
 
 

所以

 

    表达出来(记得  的中点,因此 )。注意到虽然现在的情形假设 在线段 上,但其 他情形也可以用这个方法。

 
 

代入前式:

 
 
 

 是直角三角形(H为  之垂足) ,因此

 

代入前式得出

 

中线的向量表达式

 是线段 的中点,则有 

中线的另一条定理

用标积表示 ,其中  到线 的垂足。

从上得到中线的另一条定理 

实际上

 

 投影在  上是 ,因而有 .

这两个共线向量的标积可等于 或其负数,因此取绝对值。

参见