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中线定理,又称阿波罗尼奥斯定理,是欧氏几何的定理,表述三角形两边和中线长度关系。它等价于平行四边形恒等式。
中线定理
对任意三角形 ,设 是线段 的中点, 为中线,则有如下关系:
证明
用莱布尼茨标量函数约简,可以容易导出这性质:只需要在两个平方中引入 :
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得出
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是 的中点,因此 和 相反,可知式中两个标积抵消。又因 ,得出
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另一个证法
这可能是阿波罗尼乌斯的证明方法,因为他不知道莱布尼茨函数。证明如下:
设 是从 到 的垂足,则 和 是直角三角形。用勾股定理可得
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所以
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把 和 用 和 表达出来(记得 是 的中点,因此 )。注意到虽然现在的情形假设 在线段 上,但其
他情形也可以用这个方法。
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代入前式:
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是直角三角形(H为 于 之垂足)
,因此
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代入前式得出
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中线的向量表达式
设 是线段 的中点,则有
中线的另一条定理
用标积表示 ,其中 是 到线 的垂足。
从上得到中线的另一条定理 。
实际上
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投影在 上是 ,因而有 .
这两个共线向量的标积可等于 或其负数,因此取绝对值。
参见