中线中线或重线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段。三角形的三条中线总是相交于同一点,这个点称为三角形的重心。 图中 △ {\displaystyle \triangle } ABC和中线AD 目录 1 性质1 1.1 证明 2 性质2 2.1 证明 3 参见 性质1 任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外,任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。 证明 考虑三角形ABC。设D为 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} 的中点,E为 B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} 的中点,F为 A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} 的中点,O为重心。 根据定义, A D = D B , A F = F C , B E = E C {\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC} ,因此 [ A D O ] = [ B D O ] , [ A F O ] = [ C F O ] , [ B E O ] = [ C E O ] , [ A B E ] = [ A C E ] {\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE]} ,其中 [ A B C ] {\displaystyle [ABC]} 表示三角形ABC的面积。 我们有: [ A B O ] = [ A B E ] − [ B E O ] {\displaystyle [ABO]=[ABE]-[BEO]} [ A C O ] = [ A C E ] − [ C E O ] {\displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]} 因此, [ A B O ] = [ A C O ] {\displaystyle [ABO]=[ACO]} 且 [ A D O ] = [ D B O ] , [ A D O ] = 1 2 [ A B O ] {\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]} 。 由于 [ A F O ] = [ F C O ] , [ A F O ] = 1 2 [ A C O ] = 1 2 [ A B O ] = [ A D O ] {\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]} ,所以 [ A F O ] = [ F C O ] = [ D B O ] = [ A D O ] {\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]} 。 同理,也可以证明 [ A F O ] = [ F C O ] = [ D B O ] = [ A D O ] = [ B E O ] = [ C E O ] {\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]} 。 性质2 在 △ {\displaystyle \triangle } ABC中,连接角A的中线记为 m a {\displaystyle m_{a}} ,连接角B的中线记为 m b {\displaystyle m_{b}} ,连接角C的中线记为 m c {\displaystyle m_{c}} ,它们长度的公式为: m a = 1 2 2 ( b 2 + c 2 ) − a 2 {\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}} m b = 1 2 2 ( c 2 + a 2 ) − b 2 {\displaystyle m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(c^{2}+a^{2})-b^{2}}}} m c = 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) − c 2 {\displaystyle m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}} 证明 在 △ {\displaystyle \triangle } ABD中, A D = m a {\displaystyle AD=m_{a}} ( m a ) 2 = ( A B ) 2 + ( B D ) 2 − 2 ( A B ) ( B D ) cos ∠ A B D {\displaystyle (m_{a})^{2}=(AB)^{2}+(BD)^{2}-2(AB)(BD)\cos \angle ABD} (余弦定理) 以a,b,c表示 cos ∠ A B D {\displaystyle \cos \angle ABD} i . e . cos ∠ A B D = c 2 + a 2 − b 2 2 c a {\displaystyle i.e.\ \cos \angle ABD={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}} & B D = a 2 {\displaystyle BD={\frac {a}{2}}} 把以上两等式代入原式, i . e . ( m a ) 2 = ( c ) 2 + ( a 2 ) 2 − 2 ( c ) ( a 2 ) c 2 + a 2 − b 2 2 c a {\displaystyle i.e.\ (m_{a})^{2}=(c)^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}-2(c)({\frac {a}{2}}){\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}} = ( c ) 2 + ( a 2 4 ) − ( c 2 + a 2 − b 2 2 ) {\displaystyle =(c)^{2}+({\frac {a^{2}}{4}})-({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}})} = 4 c 2 + a 2 − 2 c 2 − 2 a 2 + 2 b 2 4 {\displaystyle ={\frac {4c^{2}+a^{2}-2c^{2}-2a^{2}+2b^{2}}{4}}} = 2 b 2 + 2 c 2 − a 2 4 {\displaystyle ={\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}} ∴ m a = 1 2 2 ( b 2 + c 2 ) − a 2 {\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}} 同理,可证得其他二式 Q.E.D.参见 中线定理 角平分线长公式