周环

定义周环前，我们需先定义“有理等价”。如名字所暗示，它是一个等价关系。假定X是一代数簇，Y、Z是其子簇，若存在一包含于积族P¹×X中，且以P¹参数化的平坦族，使得Y和Z是它的两个纤维，我们就称Y和Z有理等价。用古典语言来说，我们想要一个积族的子簇，Y和Z是其两纤维，且其所有纤维有相同的希尔伯特多项式。若我们将P¹当作一条线，则此概念就是配边的代数模拟。

有理等价的定义隐含了有理等价的两子簇维数相同。为了构造周环，我们将采用余维数（X本身与子簇的维数差），这样乘积才运行良好。对满足${\displaystyle 0\leq k\leq \dim {X}}$ 的整数k，我们定义群A^k(X)为余维数k的子簇的形式和，再模掉有理等价。 周环自身是它们的直和，即：

${\displaystyle A^{*}(X)=\bigoplus _{k=0}^{\dim {X}}A^{k}(X)}$ 

环的结构以簇的相交给出：如果两个等价类${\displaystyle [Y]}$ 和${\displaystyle [Z]}$ 分别在A^k(X)和A^l(X)中，我们定义它们的积为

${\displaystyle [Y]\cdot [Z]=[Y\cap Z]}$ 

此定义有一系列技术细节，我们将在下面讨论。可以肯定地说，在最好的情形（在有理等价下总成立），此交有余维数k + l，因而在A^{k + l}(X)中。这使得周环成为分次环。周环的元素常被称为“圈”

周环的几何内涵混合了有理等价和相交积，这使得似乎形式的数字系数得以被解释为子簇的度。例如，射影空间Pⁿ的周环是

${\displaystyle A^{*}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {Z} [\omega ]/(\omega ^{n+1})}$ 

${\displaystyle \omega }$ 是超平面（单个线性函数的零点轨迹）的有理等价类。更进一步，任何度为d而余维数为k的子簇都有理等价于${\displaystyle d\omega ^{k}}$ 。这意味着，如果有两个子簇有互补的维数（它们维数和为n）且度数分别为d、e，则它们的积就是

${\displaystyle [Y]\cdot [Z]=de\;\omega ^{n}}$ 

${\displaystyle \omega ^{n}}$ 是单点的等价类。至少在Y和Z横截相交时（参见此处），这说明它们恰有de个交点。这实则是贝祖定理。类似于此的观察被极大地推广，产生了计数几何。

圈的函子性，即定义在代数圈群Z^*(X)层面上的平坦拉回和适当前推可扩展至周环，这给出群同态

${\displaystyle f^{*}\colon A^{k}(X')\to A^{k}(X)\,\!}$ 和${\displaystyle f_{*}\colon A_{k}(X)\to A_{k}(X')\,\!}$ 

事实上,${\displaystyle f^{*}}$ 给出在整个周环上的环同态（遵从相交积，至少在集合论层面上这是显然的），但${\displaystyle f_{*}}$ 不行（因为集合论层面上它就不行：我们并不总有${\displaystyle f_{*}}$ ）。但是我们有所谓“投影公式”：对X的子簇Y和X′的子簇Y′，

${\displaystyle f_{*}([Y]\cdot f^{*}([Y']))=f_{*}([Y])\cdot [Y']}$ 

周环非常像X上的整值上同调。事实上，有显然的映射

${\displaystyle f\colon A^{*}(X)\to H^{2*}(X)\,\!}$ 

（以上记号代表在偶维数生成的上同调环）。它将每个有理等价类${\displaystyle [Y]}$ 先送到由闭子簇Y决定的同调类，再送到它的庞加莱对偶（这解释了偶维数：复代数簇总有偶实维数，因此决定了偶维数的同调类）。可以证明，同一个有理等价类被送到同一个上同调类。更进一步，庞加莱对偶性的一部分说明同调类的相交积对应于上同调类的杯积，因此这映射是环同态。

有不少事实对周环和上同调环有完全相同的形式。例如推拉公式在同调和上同调中都成立。进一步，一基本结果声称，Pⁿ的上同调环和以上给出的周环是一样的，乃至${\displaystyle \omega }$ 的解释都一样（这说明，对射影空间，实际上上一段定义的映射${\displaystyle \omega }$ 是同构）。但是对此结果，上同调证明技巧性颇高。相反，对周环我们给出一个相当简单的几何证明：

首先，设H为一超平面，从而同构于P^{n − 1}。任何另外的超平面J有理等价与它，因为若它们分别由线性形式L和M定义，我们可以把它们当成Pⁿ中的点（通过其系数），由此可得它们间唯一的线。线上的点都是线性形式，从而定义了一族超平面，且由构造H和J皆在其中。${\displaystyle H\cap J}$ 是H中的超平面，且由定义它的等价类为${\displaystyle \omega ^{2}}$ 。这样我们便有一族超平面，其中每个都嵌在前一个中，依次同构与对应的射影空间且等价于${\displaystyle \omega }$ 的幂。

鉴于这些发现，我们考察任意余维数k度数d的子簇。如果k=0，那么Y必须等于Pⁿ本身，因为射影空间不可约。如果k不是0，不妨假定H由令最后一个座标为0定义，且${\displaystyle P=[0:\dots :0:1]}$ 不在Y中。对每个P¹中不是${\displaystyle [0:1]}$ 的点${\displaystyle t=[t_{0}:t_{1}]}$ ，定义映射

${\displaystyle f_{t}\colon \mathbb {P} ^{n}\setminus \{P\}\to \mathbb {P} ^{n}\setminus \{P\},f_{t}([a_{0}:\dots :a_{n-1}:a_{n}])=[t_{0}a_{0}:\dots :t_{0}a_{n-1}:t_{1}a_{n}]}$ 

Y在这些映射下的像形成了一个在P¹除去一点上的簇族。我们在 P¹ × Pⁿ中取闭包来得到Y的有理等价（这是一个等价关系得自一个非平凡但标准的事实：取闭包对应于取“平坦极限”）。如此，无穷远点处的纤维就是Y到超平面H上的投影，因此有与Y相同的度和维数。因为H本身就是射影空间，我们可重复此过程直到Y维数过大不能继续。由此可得Y有理等价与${\displaystyle d\omega ^{k}}$ ，而且我们已经找到了积结构。

一个类似的证明建立此定理的推广，在上同调中以勒雷-赫希定理闻名。它用对应纤维丛的陈类和底空间的周环计算了射影空间丛的周环。上同调的证明则要用到谱序列。

某些事实在周环中不成立，但在上同调环中成立。尤其是Künneth公式不成立，尽管勒雷-赫希定理对射影空间的积重建了它。进一步，尽管周环在簇上有逆变函子性，但在代数拓扑的意义下它构不成上同调理论，因为没有“相对周群”的概念。的确，在代数簇中，没有边界的概念，因此正面考虑替代品是无望的。

上面所给A^k(X)的构造需要一些关于“模掉有理等价”的说明。相关的技术细节是，就像在计算射影空间周环时一样，有时两个并非簇对应的圈有理等价，尽管有理等价似乎仅仅与集合结构有关。解法是由概形理论而来，即一个由理想层定义的子簇可以被认为有重数d如果我们代理想${\displaystyle I}$ 以${\displaystyle I^{d}}$ 。这样有理等价的古典陈述便不够了，且我们必须密切关注平坦族的细节。最后，等价类的形式和，例如aY + bZ，应该被认为是“有度的簇”aY和bZ的不交并，一旦建立了这些约定，我们就可借有理等价为圈的自由阿贝尔群上的等价关系来得到周环。

相交积的定义有点更加复杂。主要问题是在相交中保持正确的维数。如果Y和Z是两个余维数为k和l的子簇，它们的交并非总有余维数k+l。就如平凡的例子，两簇可能完全相同。为了克服此难处，我们可以证明“移动引理”。它断定在任何两个有理等价类中，我们总可以找到一般横截的两代表元，此时它们的交表现良好。子簇的横截性定义类似于流形的：先定义子簇的扎利斯基切空间，它们自然是X的切空间的子空间。如果这些子空间张成X的切空间，那么此交是横截的。如果横截性在它的一个稠密子集上成立，那么它是一般横截的。

某种意义上，对于可对上同调环证明的事实，声称周环可给出更简单的证明有些狡猾。特别是概形论的构造、平坦族和平坦极限，以及移动引理都解决了大量隐藏于周环下的技术困难。但是，这些技术细节大都是理论的基础，一旦它们被建立，几何上的优势就很明显了。

周群被拓展至高阶周群，这平行于从K₀ (零阶代数K-理论)到高阶代数K-理论的拓展。^[1]

算术周群是Q上代数簇的周群与记录阿基洛夫理论信息——即有关复流形结构的信息——部分的混合。^[2]

有理等价和环A^*在20世纪初由意大利代数几何学派定义，且被Severi和他的学派使用(可参考Severi的论文^[3][4]，他本质上研究了代数曲面S的群A₀(S)；也可参阅芒福德论文开头的评论^[5]）。 Serge在他1930年的论文^[6]中用了对奇异曲线的环A₀更精细的研究来描述P²中代数曲面的支线。在1956年周炜良写了一篇重要的论文^[7]后，环A^*被称作周环。有些几何学家坚持是格罗滕迪克提出将此环命名为周环。

[编]

  《旧五代史·卷95》，出自薛居正《旧五代史》

• Bloch, Spencer, Algebraic cycles and higher K-theory, Advances in Mathematics, 1986, 61 (3): 267–304, ISSN 0001-8708, MR852815 
• Chow, Wei-Liang, On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety, Annals of Mathematics, 1956, 64: 450–479, ISSN 0003-486X 
• Fulton, William, Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-0-387-98549-7, MR1644323 
• Gillet, H.; Soulé, C., An arithmetic Riemann–Roch Theorem, Invent. Math., 1992, 110: 473–543, doi:10.1007/BF01231343 

1. ^ （Bloch 1986）
2. ^ （H. Gillet & C. Soulé 1992）
3. ^ F. Severi, "La base per le varieta algebriche di dim ensione qualunque contenute inunadata", Mem. della R. Accad. d'Italia, 5, (1934), p. 239
4. ^ F. Severi, "The series of sets of points on an algebraic surface", Proc. Imp. Acad. Volume 12, Supplement (1936), 1-7
5. ^ D.Mumford, "Rational equivalence of 0-cycles on surfaces", J. Math. Kyoto Univ. Volume 9, Number 2 (1969), 195-204
6. ^ B. Segre, "Sulla Caratterizzazione delle curve di diramazione", Mem. R. Acc. d'Italia, I 4 (1930)
7. ^ W.L. Chow, "On equivalence classes of cycles in an algebraic variety", Annals of Mathematics, 1956