有理映射

代数几何中,有理映射是定义在概形的稠密开集上的态射。有理映射及由此引生的双有理等价是古典代数几何学的主要对象。

定义

固定概形  。考虑所有的资料  ,其中   是稠密开集,而   是态射;这些资料代表了   上“部分定义”的态射,  代表   的定义域。定义下述等价关系:

 

此外,注意到稠密性保证   也是   中的稠密开集。当   不可约,则所有非空开集都是稠密的。若再假设   既约而  分离概形,则任一等价类有唯一一个定义域最大的代表元。

从概形   有理映射   是其中的一个等价类  

  是从     是从    的有理映射,则一般并不能定义其合成  。但是当   的像(对某个,因而对每个代表元  )在   中稠密时,对每个   的代表元    皆非空,此时可以定义  

同理,若    都是   上的概形,也可以类似地定义  -有理映射。

例子

 整环,设   ,则从    的任何有理映射   有唯一的表法:

 

其中   是多项式。该有理映射可以在   上定义。

此外,对于不可约  -概形  ,其上的有理函数一一对应到从    的有理映射。

优势映射与双有理等价

之前考虑合成问题时,曾利用像的稠密性条件;满足该条件的有理映射称为优势映射。由于优势映射可以作合成,定义从概形   双有理等价为一个优势映射  ,使得存在另一个从    的优势映射  ,使   

以下考虑   上的不可约代数簇及其间的  -有理映射。有理映射的地位在于:透过有理函数的“拉回”运算,代数簇之间的优势映射对应到函数域之间的映射,而双有理等价对应到函数域的同构。由此可知代数簇的双有理等价范畴等价于函数域的反范畴。

双有理等价的例子

双有理等价的定义较同构宽,因为我们容许态射在某维度较低的闭集上未定义。一个例子是   ,两者双有理等价,而并不同构。原因如下:  中的任两条闭曲线都有交点,而在   中,   不相交,因而    并不同构。

另一方面, 函数域可以在仿射开集   上计算,此开集的座标环是  ,其函数域是  ;这也是   的函数域,于是二者双有理等价。若细审上述论证,事实上能写出所求双有理等价的式子。

参见

文献

  • Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. (法语).  )
  • Hartshorne, Robin. Algebraic Geoemtry. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9 (英语).