在几何学上,垂足三角形(英语:Pedal triangle)是将一个点投影至三角形的边上所得到的三角形。
三角形
ABC 为黑色,从
P 延伸出去的三条垂线为蓝色,由此得到的垂足三角形
LMN 为红色
具体地说,考虑一个三角形,选定一个异于顶点的点。通过对三角形的三边做垂直线,将这些垂直线与的交点分别命名为,则三角形是一个垂足三角形。
性质
如果 不是钝角三角形,则其垂足三角形 的内角角度分别为 、 、 。[1]
若 点位于三角形 的特殊中心上,则有一些特殊情况:
- 若 是 的垂心,则 是垂心三角形(英语:Orthic triangle)。
- 若 是 的内心,则 是 之内切圆的三个切点。
- 若 是 的外心,则 是中点三角形。
若 点以三角形 为基准的三线坐标是 ,则其垂足三角形的顶点 坐标为:
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相关定理
P 在外接圆上的情形,此时垂足三角形退化为一条线(红色)
西姆松定理
若 点位于 的外接圆上,则 共线,反之亦然。这条线被称为垂足线(英语:Pedal line),又称为西姆松线(英语:Simson line)。
卡诺定理
主条目:卡诺定理(垂线)
六点满足以下等式:[2]
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反垂足三角形
三角形
ABC 为红色,从
P 延伸至顶点的三条线为蓝色,由此得到的反垂足三角形
LMN 为黑色
过 作一条垂直于 的直线,过 作一条垂直于 的直线,过 作一条垂直于 的直线,则这三条直线构成的三角形称为反垂足三角形(英语:Antipedal triangle)。在这个反垂足三角形中,设与 相对的顶点为 ,与 相对的顶点为 ,与 相对的顶点为 。
是 在 点上的垂足三角形,这也是其名称的由来。
若 点以三角形 为基准的三线坐标是 ,则反垂足三角形的顶点 坐标为:[3]
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一个特殊的例子是,如果 点位于内心,则该反垂足三角形以 的三个旁心为顶点。
参考资料