垂足三角形

几何学上,垂足三角形(英语:Pedal triangle)是将一个点投影至三角形的边上所得到的三角形。

三角形 ABC 为黑色,从 P 延伸出去的三条垂线为蓝色,由此得到的垂足三角形 LMN 为红色

具体地说,考虑一个三角形,选定一个异于顶点的点。通过对三角形的三边做垂直线,将这些垂直线与的交点分别命名为,则三角形是一个垂足三角形。

性质

如果 不是钝角三角形,则其垂足三角形 的内角角度分别为   [1] 点位于三角形 特殊中心上,则有一些特殊情况:

  •   垂心,则 是垂心三角形(英语:Orthic triangle)。
  •   内心,则  之内切圆的三个切点。
  •   外心,则 中点三角形

 点以三角形 为基准的三线坐标 ,则其垂足三角形的顶点 坐标为:

 
 
 

相关定理

 
P 在外接圆上的情形,此时垂足三角形退化为一条线(红色)
 
卡诺定理:红色区域与蓝色区域的面积相等

西姆松定理

 点位于 外接圆上,则 共线,反之亦然。这条线被称为垂足线(英语:Pedal line),又称为西姆松线(英语:Simson line)。

卡诺定理

 六点满足以下等式:[2]

 

反垂足三角形

 
三角形 ABC 为红色,从 P 延伸至顶点的三条线为蓝色,由此得到的反垂足三角形 LMN 为黑色

 作一条垂直于 的直线,过 作一条垂直于 的直线,过 作一条垂直于 的直线,则这三条直线构成的三角形称为反垂足三角形(英语:Antipedal triangle)。在这个反垂足三角形中,设与 相对的顶点为 ,与 相对的顶点为 ,与 相对的顶点为 

   点上的垂足三角形,这也是其名称的由来。

 点以三角形 为基准的三线坐标 ,则反垂足三角形的顶点 坐标为:[3]

 
 
 

一个特殊的例子是,如果 点位于内心,则该反垂足三角形以 的三个旁心为顶点。

参考资料

  1. ^ Trigonometry/Circles and Triangles/The Pedal Triangle - Wikibooks, open books for an open world. en.wikibooks.org. [2020-10-31]. (原始内容存档于2021-08-22). 
  2. ^ Alfred S. Posamentier; Charles T. Salkind. Challenging problems in geometry. New York: Dover. 1996: 85-86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. (编). Antipedal Triangle. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2021-08-22]. (原始内容存档于2021-08-22) (英语).