勾股容方

勾中容方可以转变为股中容直

将三角形ABC倒置，与之重叠成长方形ABCD 如图；其次从勾中容方接触点E画水平线EM，垂直线EK，与长方形的边相交，如图，三角形ACD内接长方形KDME，构成股中容直。

图中三角形ABC中内接红色正方形１，三角形ADC中内接绿色长方形２。

中国古代数学中的一条定理，“勾中容方与股中容直，其积必等”由此而来。

由于三角形ABC相等三角形ADC，而三角形３＝三角形４；三角形５＝三角形６；所以从三角形ABC中减去三角形３，三角形５，剩下的正方形１，必然等于从三角形ADC中减去三角形４和三角形６后，所剩余的长方形２。

即：

三角形ABC＝正方形１＋三角形３＋三角形５

三角形ADC＝长方形２＋三角形４＋三角形６

因为　三角形ABC＝三角形ADC

所以　正方形１＋三角形３＋三角形５＝长方形２＋三角形４＋三角形６

又因　三角形３＝三角形４

　　　三角形５＝三角形６

所以　正方形１＝长方形２

如以 X代表正方形边长，H代表股高，L代表勾长

得勾股容方的另一关系式：

${\displaystyle X^{2}}$  = (H-X) (L-X)

这个关系式和关系式 X = HL / (H+L) 等价；

${\displaystyle X^{2}}$  = HL - HX - LX + ${\displaystyle X^{2}}$ 

由此得出 X = HL / (H+L)

《九章算术》第九卷勾股章第十七题：“今有邑，方二百步，各中开门。出东门十五步有木，问出南门几何步而见木？答曰：六百六十六步太半步。”

如图，方城宽200步，出东门15步有一棵树T，出南门X步到P点看到树，求X.

根据上列“勾中容方与股中容直，其积必等”定理，可得

15 * X = 100 x 100 步

X = 10000 / 15 = 666.6 步

再推广一步，图中三角形ABC中内接红色横长方形５，三角形ADC有内接长方形６。“勾中容横，股中容直，二积皆等”。 由于三角形ABC相等三角形ADC，而三角形１＝三角形２；三角形３＝三角形４；所以从三角形ABC中减去三角形１，三角形３，剩下的长方形５必然等于三角形ADC减去三角形２，三角形４后，所剩余的长方形６。

又因；长方形５＋三角形３＋三角形４＝长方形６＋三角形４＋三角形３

即　长方形EBCG ＝ 长方形HDCK

所以　EB x BC = FG x AB

又因；长方形５＋三角形１＋三角形２＝长方形６＋三角形１＋三角形２

即　长方形AHKB ＝ 长方形ADGE

所以　EF x AB = AE x EG

《九章算术》第九卷第十八题：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门。出东门十五里有木，问出南门几何步而见木？答曰：三百一十五步。”

用勾中容横与股中容直，其积必等定理

得　15X = 3.5 x 4.5

　　　X = 3.5 x 4.5 / 15 = 1.05 里 = 1.05 x 300 = 315 步

薄透镜成像的规律（包括牛顿透镜成像公式）蕴含着勾股容方的关系式。加拿大科学家Harold Merklinger所著的关于摄影机镜头景深的书籍，封面上正是一幅“勾股容方”图^[3]

如图物距为D，像距为d，透镜焦点为f，

透镜成像公式：　1/f = 1/D + 1/d = (D+d) / Dd

即　　　f = Dd / (D+d)

这恰恰是勾股容方的关系式，即勾d，股D，容方长为f．

从勾中容方，股中容直，其积相等原理，可知图中黄色正方形的面积＝蓝色长方形的面积，

　(D-f) (d-f) = f*f

这正是著名的牛顿透镜成像公式。