勾股数

以下的方法可用来找出勾股数。设${\displaystyle m>n}$ 、${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle n}$ 均是正整数，

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2}}$ 

${\displaystyle b=2mn}$ 

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}$ 

若${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle n}$ 是互质，而且${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle n}$ 为一奇一偶，计算出来的${\displaystyle (a,b,c)}$ 就是素勾股数。（若${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle n}$ 都是奇数，${\displaystyle (a,b,c)}$ 就会全是偶数，不符合互质。）

所有素勾股数可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。

以下是小于 100 的素勾股数：

有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ，它在以下两组勾股数之中出现：${\displaystyle (20,21,29)}$ 与${\displaystyle (20,99,101)}$ 。

其中最先例子是5，它在以下两组勾股数之中出现${\displaystyle (3,4,5)}$ 及${\displaystyle (5,12,13)}$ 。

在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ，它的最小与最大的勾股数组是：

${\displaystyle 1229779565176982820}$ 

${\displaystyle 1230126649417435981}$ 

${\displaystyle 1739416382736996181}$ 

与

${\displaystyle 1229779565176982820}$ 

${\displaystyle 378089444731722233953867379643788099}$ 

${\displaystyle 378089444731722233953867379643788101}$ 

试考虑它的素因数分解

${\displaystyle 1229779565176982820=2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47}$ 

它素因数的个数涉及不少素勾股数。当然，数学上存在比它大的素勾股数。

• ${\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(b,c)=\gcd(c,a)=\gcd(a,b,c)}$ 
• ${\displaystyle (a,b)}$ 至少一个是3的倍数^{[1][需要较佳来源]}
• ${\displaystyle (a,b)}$ 至少一个是4的倍数^{[1][需要较佳来源]}
• ${\displaystyle (a,b,c)}$ 至少一个是5的倍数^[1]

若需要一组最小数为奇数的勾股数，可任意选取一个 3 或以上的奇数，将该数自乘为平方数，除以 2，答案加减 0.5 可得到两个新的数字，这两个数字连同一开始选取的奇数，三者必定形成一组勾股数^[1]。但却不一定是以这个选取数字为起首勾股数的最小可能或唯一可能，例如${\displaystyle (27,364,365)}$ 并非是以 27 为起首的唯一勾股数，因为存在另一个勾股数是${\displaystyle (27,36,45)}$ ，同样也以 27 为首。

对于任何大于1的整数${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle x^{2}+1}$ 、${\displaystyle x^{2}-1}$ 与${\displaystyle 2x}$ ，三个数必为勾股数^[1]，例如：代入${\displaystyle x}$ 为2，则${\displaystyle x^{2}+1}$ 为5，${\displaystyle x^{2}-1}$ 为3，${\displaystyle 2x}$ 为4，${\displaystyle (3,4,5)}$ 为一组勾股数。

费马最后定理指出，若${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ ，而${\displaystyle n}$ 是大于 2 的整数，${\displaystyle (a,b,c)}$ 即没有正整数解。

• 勾股定理
• 费马最后定理
• 特殊直角三角形#常见的勾股数

• 谈费玛最后定理第 2 页
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• Javascript 计算器，用以计算 (${\displaystyle m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2}}$ ) 公式，以及如何推论此公式。
• 120 三元数组 (doc)