等轴测投影

等轴测投影(Isometric projection)又称等角投影技术制图工程制图中,一种在二维平面呈现三维物体的方法,属于轴测投影的一种,三条坐标轴的投影缩放比例相同,并且任意两条坐标轴投影之间的角度都是120度。

一些三维图形的等轴测投影图
黑色尺寸是三维图形的实际尺寸
红色尺寸等轴测投影出的尺寸

概述

立方体的等轴测投影图
等轴测投影视角的获取法

等轴测投影图可通过使各坐标轴的投影之间角度相等(120°)的视角来获得。以立方体为例,先从一个面正视观察,然后将立方体绕纵轴旋转±45°,接着将立方体绕横轴旋转约±35.264° (准确值为 arcsin 13arctan 12)。立方体的等轴测投影图(右图左上)是正六边形:所有黑线长度相等,每个面的投影面积相同。利用等轴测格纸可以无需计算而绘制等轴测投影图。

等轴测投影的视角可以看成是从立方体的顶点看向对面顶点,则x轴为立方体右侧面右下延伸对角线、y轴为左侧面左下延伸对角线、z轴为顶面向上延伸对角线。从此视角投影,各坐标轴的投影彼此成120°。

数学

根据观察卦限的不同,有8种不同的等轴测投影视角。以第一卦限为例,三维上的点ax,y,z等轴测投影到二维上成点 bx,y,数学上可以写成旋转矩阵

 

其中 α = arcsin(13) ≈ 35.264° 且 β = 45°。

接着正投影xy平面:

 

另外7种符合等轴测投影视角,可以借由反方向旋转或镜像来达成。[1]

历史与局限

研磨机 (1822), 等轴测投影
三国演义中的等轴测投影

等轴测投影的概念以经验形式存在了数个世纪,然后由William Farish(1759–1837)在1822年首次正式描述。[2][3] 十九世纪中期,等轴测投影成为工程师的重要工具,不久之后等轴测投影和轴测投影进入欧美国家的建筑学课程中。[4] 然而,有观点认为轴测投影发源于中国,在中国艺术中起的作用,就如同透视投影之于西洋艺术,随着视觉计算的出现,轴测投影和相关绘图法则对电脑图形学 亦有所帮助。[5]

等轴测投影缺陷:无法看出两球高度差
彭罗斯阶梯:一座循环的阶梯

如同各种平行投影方法,等轴测投影绘制的物体不会因为物体距离观察者的远近而改变大小。虽然有利于建筑图直接测量长度,但却会造成视觉有损,不像透视投影这种人类视觉和摄像使用的成像方式。等轴测投影有时会造成高度难以识别(如右左下图)。这点可被用来创造谬图,如无限循环阶梯

在视频游戏和像素画上的用途

二十世纪八九十年代,受限于当时的微电脑计算能力,等轴测投影能提供有限的3D效果,因而被用于视频游戏中,例如当时的机台游戏《立体空战英语Zaxxon》。

等轴测投影也被用于向导图和像素画,用来呈现复古游戏的风格。

参见

  • 轴测投影

注释与参考

  1. ^ Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek , Dan Lim. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations. ACM Computing Surveys (ACM). December 1978, 10 (4): 465–502. doi:10.1145/356744.356750. 
  2. ^ Barclay G. Jones (1986). Protecting historic architecture and museum collections from natural disasters. University of Michigan. 互联网档案馆)". In: International Institute for Asian Studies Newsletter, 9, Summer 1996.
  3. ^ Jan Krikke (2000). "Axonometry: a matter of perspective". In: Computer Graphics and Applications, IEEE Jul/Aug 2000. Vol 20 (4), pp. 7–11.

外部链接