牟合方盖

《九章算术》曾认为，球体外切圆柱体积与球体积之比等于正方形与其内切圆面积之比。魏国数学家刘徽在他为《九章算术》作的注释指出，原书说法不正确，只有“牟合方盖”（两支垂直相交圆柱体的交集之体积）与球体积之比，才正好等于正方形与其内切圆的面积之比，即是：

球体积：牟合方盖体积＝${\textstyle \pi :4}$ 

但刘徽没有提供牟合方盖体积公式，也就得不出球体积公式。

一直到南北朝，数学家祖冲之和其子祖暅之才另创新法求出牟合方盖与球体体积。他们的求法纪录在唐代李淳风为九章算数作的注解中，流传至今。

（臣淳风等谨按：祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率，乃设新法。）祖暅之开立圆术曰：以乘积开立方除之，即立圆径。其意何也？取立方棋一枚，令立枢于左后之下隅，从规去其右上之廉。又合而横规之，去其前上之廉。于是立方之棋分而为四，规内棋一，谓之内棋；规外棋三，谓之外棋。

这段说明的形状可看做是${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}$ 块牟合方盖，外接一立方体；${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}$ 块牟合方盖即“内棋”，立方体减去内棋余部即为“外棋”。

更合四棋，复横断之。以勾股言之，令余高为勾，内棋断上方为股，本方之数，其弦也。勾股之法，以勾幂减弦幂，则余为股幂。若领余高自乘，减本方之幂，余即内棋横断上方之幂也。本方之幂，即外四棋之断上幂。然则余高自乘，即外三棋之断上幂矣。不问高卑，势皆然也。然固有所归同而途殊者尔。而乃控远以演类，借况以析微。

现将内外棋横向切开。内棋截面是正方形，可用勾股弦定理求出其边长与圆半径的关系式。圆半径（立方体边长）r，底面到截面高h，则正方形边长${\textstyle {\sqrt {r^{2}-h^{2}}}}$ ，面积${\textstyle r^{2}-h^{2}}$ ；也就是说外棋截面积为${\textstyle r^{2}-(r^{2}-h^{2})=h^{2}}$ 。

按阳马方高数参等者，倒而立之，横截去上，则高自乘与断上幂数，亦等蔫。夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。由此观之，规之外三棋旁蹙为一，即一阳马也。

现以立方体的底面和底面以外一粒顶点作一四角锥（这形状称阳马）。对阳马距离角锥h处横向切开，则截面是正方形，面积等于${\displaystyle h^{2}}$ 。

祖氏父子在此解释：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等。这就是今天所称的“祖暅原理”。套用此定理，

外棋截面积＝阳马截面积＝${\displaystyle h^{2}}$ 

所以外棋体积也等于阳马体积。

三分立方，则阳马居一，内棋居二可知矣。合八小方成一大方，合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二，则合盖居立方矣三分之二，较然验矣。

《九章算术》已有提到，阳马体积等于其外接立方体积${\textstyle {\tfrac {1}{3}}}$ ^[1]，所以内棋体积是立方体的${\textstyle {\tfrac {2}{3}}}$ ，即${\textstyle {\tfrac {2r^{3}}{3}}}$ 。由于内棋是牟合方盖的${\textstyle {\tfrac {1}{8}}}$ ，故牟合方盖体积为

${\textstyle {\frac {2}{3}}\times 8={\frac {16}{3}}r^{3}}$ 。

而球体积即为

${\textstyle {\frac {16}{3}}r^{3}\times {\frac {\pi }{4}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ 。

• 祖冲之、球体公式及其他 （页面存档备份，存于互联网档案馆），EpisteMath | 数学知识
• 《缀术》中的开立圆术，中文数学数字图书馆
• 于Google SketchUp 3D 模型库的“牟合方盖”立体模型 Archive.is的存档，存档日期2013-01-24