双心多边形

所有三角形都同时拥有内切圆和外切圆，因此所有三角形皆为双心多边形^[1]。 在任意三角形中，皆可以找到内切圆半径r和外切圆半径R，且它们存在下列等式：

${\displaystyle {\frac {1}{R-x}}+{\frac {1}{R+x}}={\frac {1}{r}}}$ 

其中，x表示内切圆圆心和外切圆圆心的距离，即内心和外心的距离^[2]。这个等式可以视为欧拉三角形公式的其中一个版本。

在所有四边形中，并非所有四边形都可以同时拥有内切圆和外接圆，换句话说并非所有四边形都是双心多边形，而同时拥有内切圆与外接圆的四边形称为双心四边形。

给定2个圆，其中一个圆位于另一个圆内时，假设大圆半径为R、小圆半径为r，若当中存在一个凸四边形，满足每条边与小圆相切、且顶点皆位于大圆上时，则其满足下列式子，反之亦然。^[3][4][5]

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$ 

其中，x为两圆心之距离^[2][6]。则这个四边形为双心四边形。这种性质称为Fuss定理^[7]。

令外接圆圆心为R、内切圆圆心为r、内心与外心距离为x、n为多边形的边数，更复杂的双心多边形通式为^[8]：

${\displaystyle n=5:\quad r(R-x)=(R+x){\sqrt {(R-r+x)(R-r-x)}}+(R+x){\sqrt {2R(R-r-x)}},}$ 

${\displaystyle n=6:\quad 3(R^{2}-x^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+x^{2})(R^{2}-x^{2})^{2}+16r^{4}x^{2}R^{2},}$ 

${\displaystyle n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2}+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4},}$ 

其中${\displaystyle p={\tfrac {R+x}{r}}}$ 、${\displaystyle q={\tfrac {R-x}{r}}}$ 。

• 圆内接多边形
• 圆外切多边形

• 埃里克·韦斯坦因. Bicentric polygon. MathWorld.