不连续点 此条目介绍的是实变函数的不连续点的分类。关于复变函数的奇点的分类,请见“奇点_(数学)”。 不连续点,又称间断点,分段点(英语:Discontinuities),通常是在单变数实变函数的环境下讨论。令 E ⊆ R , f : E → R {\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ,~f:E\to \mathbb {R} } ,且若 c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } (不一定要在 E {\displaystyle E} 中),若 f {\displaystyle f} 在 c {\displaystyle c} 不连续,则称 f {\displaystyle f} 在那里有个不连续点、 c {\displaystyle c} 为一个 f {\displaystyle f} 的不连续点。 分类 根据不同不连续点的性质,通常把不连续点分为两类: 第一类不连续点: 可去不连续点:不连续点两侧函数的极限存在且相等 。 跳跃不连续点:不连续点两侧函数的极限存在,但不相等; 第二类不连续点:不属于第一类不连续点的任何一种不连续点都属于第二类不连续点。第二类不连续点可以进一步分为无穷不连续点和震荡不连续点。例子 可去不连续点 1. 考虑以下函数: f ( x ) = { x 2 for x < 1 0 for x = 1 2 − x for x > 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-x&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}} 点 x 0 = 1 {\displaystyle x_{0}=1} 是可去不连续点。 跳跃不连续点 2. 考虑以下函数: f ( x ) = { x 2 for x < 1 0 for x = 1 2 − ( x − 1 ) 2 for x > 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}} 点 x 0 = 1 {\displaystyle x_{0}=1} 是跳跃不连续点。 第二类不连续点 3. 考虑以下函数: f ( x ) = { sin 5 x − 1 for x < 1 0 for x = 1 0.1 x − 1 for x > 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\{\frac {0.1}{x-1}}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}} 点 x 0 = 1 {\displaystyle x_{0}=1} 是第二类不连续点,又称本性不连续点。 外部链接 Discontinuous. PlanetMath. "Discontinuity" (页面存档备份,存于互联网档案馆) by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project, 2007. 埃里克·韦斯坦因. Discontinuity. MathWorld.