级数展开

这里介绍了若干种级数展开的方式：

泰勒级数是基于函数在一个点上的导数的幂级数。具体来说，如果函数 ${\displaystyle f:U\mapsto \mathbb {R} }$  在${\displaystyle x_{0}}$ 附近是无限可微的，那么${\displaystyle f}$ 在该点周围的泰勒级数为${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$ ，按照惯例${\displaystyle 0^{0}:=1}$ 。${\displaystyle f}$ 的麦克劳林级数是其在${\displaystyle x_{0}=0}$ 处的泰勒数列。洛朗级数是泰勒级数的延伸，允许负指数项；它的形式是 ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}}$ 并在环内收敛。

广义狄利克雷级数具有 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$ 的形式。它的一个重要特例是狄利克雷级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$ 。${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$ 傅里叶级数将周期函数展开成许多正弦和余弦函数之和。更具体地，一个周期为${\displaystyle 2L}$ 的函数${\displaystyle f(t)}$ 的傅里叶级数为：

其中系数为：

斯特林公式${\displaystyle {\text{Ln}}\Gamma \left(z\right)\sim \left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left(2\pi \right)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}}}$ 是对数Γ函数的一个近似值。

下式为${\displaystyle e^{x}}$ 的泰勒级数：

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}...}$ 

黎曼ζ函数的黎曼ζ函数是：

${\displaystyle \zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+\cdots }$