公元前3世纪,欧几里得证明了素数有无穷多个。公元十八世纪,欧拉证明了所有素数的倒数之和发散。这里给出一些证明。
证明一
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因为当n逐渐增大时,前n个整数的倒数之和趋近于ln(n),所以
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证明二
此证明由保罗·埃尔德什给出。用反证法。
假设所有素数的倒数之和收敛:
定义 为第i个素数,可得到
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存在一个正整数i使得
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定义N(x)为不超过x且不能被任何大于第i个素数的素数整除的正整数n的个数。
设 ,k不再含平方因子(任何整数都可以这样)。
由于只有i个素数能整除k,k最多只有 种选择。
又因为m最多只能取 个值,可得到:
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不超过x且能被某些大于第i个素数的素数整除的正整数n的个数为x − N(x)。
因为不超过x且能被p整除的整数最多有x/p个,可得到
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或
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但这是不可能的。
证毕。
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