柯西稠密判定法

在数学分析领域中、 柯西稠密测试（得名于法国数学家柯西），是一个应对无穷级数的收敛测试。

一般而言，一个单调递减、非负的实数序列 $f(n)$ 所对应的级数 $\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)$ 收敛当且仅当其“凝结”级数（英语：Condensed Series） $\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ 收敛。且此极限（如果存在）满足以下不等式：

0\ \leq \ \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\ \leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ +\infty

换言之，“凝结”级数的极限在原级数极限和它的二倍之间。

推导

要证明该方法的正确性，我们需要证明上面的不等式。

\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\

\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\ \leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\

第一个不等式可以通过替换原级数里的一些项得到。注意这里需要用到原级数的性质（单调递减）。

{\begin{array}{rcccccccl}\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\cdots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\cdots \\&\leq &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\cdots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}

相似地，第二个不等式也需要我们重新组合和替换。

{\begin{array}{rcl}\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=&f(1)+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&=&{\Big (}f(1)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&\leq &{\Big (}f(1)+f(1){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(2)+f(3)+f(3){\Big )}+\cdots =2\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)\end{array}}

注释

Bonar, Khoury (2006). Real Infinite Series. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-745-6.

外部链接

Cauchy condensation test proof （页面存档备份，存于互联网档案馆）