通项极限判别法
如果序列通项的极限不为零或无定义,即 ,那么级数不收敛。在这种意义下,部分和是柯西数列的必要条件是极限存在且为零。这一判别法在通项极限为零时无效。
假设对任何的 , 。如果存在 使得:
-
如果 ,那么级数绝对收敛。如果 ,那么级数发散。如果 ,比例判别法失效,级数可能收敛也可能发散,此时可以考虑高斯判别法。
设 是要判断审敛性的级数,其中(至少从某一项开始) 。倘若其相邻项比值 可以被表示为:
其中 和 都是常数,而 是一个有界的序列,那么
- 当 或 时,级数收敛;
- 当 或 时,级数发散。
-
其中 表示上极限(可能为无穷,若极限存在,则极限值等于上极限)。
如果 ,级数绝对收敛。如果 ,级数发散。如果 ,开方判别法无效,级数可能收敛也可能发散。
级数可以与积分式比较来确定其敛散性。令 为一正项单调递减函数。如果:
-
那么级数收敛。如果积分发散,那么级数也发散。
如果 是一个绝对收敛级数且对于足够大的n,有 ,那么级数 也绝对收敛。
如果 ,并且极限 存在非零,那么 收敛当且仅当 收敛。
具有以下形式的级数 。其中所有的 非负,被称作交错级数。如果当 趋于无穷时,数列 的极限存在且等于 ,并且每个 小于或等于 (即数列 是单调递减的),那么级数收敛。如果 是级数的和 那么部分和 逼近 有截断误差 。
给定两个实数项数列 和 ,如果数列满足 收敛, 是单调且有界的,则级数 收敛。