比值审敛法(Ratio test)是判别级数敛散性的一种方法,又称为达朗贝尔判别法(D'Alembert's test)[1]。
无穷级数
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无穷级数
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定理
设 为一级数,如果
,
- 当ρ<1时级数绝对收敛
- 当ρ>1时级数发散
- 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
证明
如果 ,那么存在一个实数 以及一个正整数 ,满足 ,使得当 时,总有 成立;因此在上述条件下,当 为正整数时有 ,于是根据无穷等比数列求和得出下式绝对收敛:
-
如果 ,那么同样存在一个正整数 ,使得当 时,总有 ,求和项的极限不为零,于是级数发散。
而当 时,以 与 为例,结果同样为 ,但前者发散而后者收敛(后者收敛值为 ),该例子可以用比较审敛法来审敛。
例子
收敛
考虑级数
-
-
因此该级数收敛。
发散
考虑级数
-
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=
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=
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=
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=
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=
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|
=
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因此该级数发散。
不能确定
级数
-
发散,但
-
而级数
-
收敛,但
-
参见
参考文献
- ^ 卓里奇, B.A. 数学分析 第7版. ISBN 9787040287554.