根值审敛法根值审敛法(Root test)是判别正项级数敛散性的一种方法,又叫做柯西判别法。方法是分析第 n {\displaystyle n} 项的绝对值的 n {\displaystyle n} 次方根的上极限与1的大小关系。 无穷级数 ζ ( s ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}} 无穷级数 审敛法 项测试 · 比较判别法 · 极限比较检验法 ·根值审敛法 · 达朗贝尔判别法 · 柯西判别法 · 柯西并项判别法 · 拉比判别法 · 高斯判别法 · 积分判别法 · 魏尔施特拉斯判别法 · 贝特朗判别法 · 狄利克雷判别法 · 阿贝尔判别法 · 库默尔判别法 · 斯托尔兹-切萨罗定理 · 迪尼判别法 级数 调和级数 · p-级数 · 幂级数 · 泰勒级数 · 傅里叶级数 查论编 定理 根值审敛法判断流程表 设 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 是要判断审敛性的级数,令 C = lim n → ∞ ¯ | a n | n = lim sup n → ∞ | a n | n , {\displaystyle C={\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }},} 当 C < 1 {\displaystyle \,C<1\,} 时级数绝对收敛(当然同时也收敛) 当 C > 1 {\displaystyle \,C>1\,} 或 C = ∞ {\displaystyle \,C=\infty \,} 时级数发散 当 C = 1 {\displaystyle \,C=1\,} 时级数可能收敛也可能发散[1]。证明: 当 C < 1 {\displaystyle \,C<1\,} 时,取 q ∈ ( C , 1 ) {\displaystyle \,q\in (C,1)} ,由上极限的定义, { | a n | n } {\displaystyle \left\{{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}\right\}\,} 应当有收敛于 C {\displaystyle \,C\,} 的子列 { | a n k | n k } {\displaystyle \,\left\{{\sqrt[{n_{k}}]{\left\vert a_{n_{k}}\right\vert }}\right\}\,} ,由极限的保序性, ∃ N ∈ N {\displaystyle \,\exists N\in \mathbb {N} } ,使 n > N {\displaystyle \,n>N\,} 时, | a n | n < q {\displaystyle {\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}<q\,} (否则,总可以取出极限不比 q {\displaystyle \,q\,} 小的子列,和 C {\displaystyle \,C\,} 的定义矛盾)。因而, n > N {\displaystyle n>N\,} 时,有 | a n | < q n {\displaystyle \,\left\vert a_{n}\right\vert <q^{n}\,} ,又因为 ∑ n = 1 ∞ q n = lim n → ∞ ∑ k = 1 n q n = lim n → ∞ q 1 − q n 1 − q = q 1 − q {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}q^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }q{\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {q}{1-q}}\,} 是收敛的,由比较审敛法, ∑ n = 1 ∞ | a n | {\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert \,} 收敛,即 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 绝对收敛。 当 C > 1 {\displaystyle \,C>1\,} 或 C = ∞ {\displaystyle \,C=\infty \,} 时,取子列 { | a n k | n k } {\displaystyle \,\left\{{\sqrt[{n_{k}}]{\left\vert a_{n_{k}}\right\vert }}\right\}\,} ,从而 ∃ K ∈ N {\displaystyle \,\exists K\in \mathbb {N} \,} ,使得 k > K {\displaystyle \,k>K\,} 时, | a n k | > a n k n k > 1 {\displaystyle \,\left\vert a_{n_{k}}\right\vert >{\sqrt[{n_{k}}]{a_{n_{k}}}}>1} 。这意味着 lim n → ∞ a n ≠ 0 {\displaystyle \,\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0\,} ,根据通项极限判别法,级数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,} 是发散的。 例: lim n → ∞ ¯ 1 n n = lim n → ∞ ¯ 1 n 2 n = 1 {\displaystyle {\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n}}}={\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n^{2}}}}=1\,} ,但 ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,} 发散,而 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,} 。参见 比值审敛法 比较审敛法^ B.A.卓里奇. 数学分析(第一卷) 第四版. 高等教育出版社. : 86. ISBN 978-7-04-018302-3.