∙/∞ 的情况
第一种: 已知
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
为严格递增并发散至
+
∞
{\displaystyle +\infty }
,而且
−
∞
<
l
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <l<+\infty }
,因此我们有
∀
ϵ
/
2
>
0
,
{\displaystyle \forall \epsilon /2>0,}
∃
ν
>
0
{\displaystyle \exists \nu >0}
使得
∀
n
>
ν
,
{\displaystyle \forall n>\nu ,}
|
a
n
+
1
−
a
n
b
n
+
1
−
b
n
−
l
|
<
ϵ
2
,
{\displaystyle \left|\,{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-l\,\right|<{\frac {\epsilon }{2}},}
也就是说
l
−
ϵ
/
2
<
a
n
+
1
−
a
n
b
n
+
1
−
b
n
<
l
+
ϵ
/
2
,
∀
n
>
ν
.
{\displaystyle l-\epsilon /2<{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<l+\epsilon /2,\,\forall n>\nu .}
因为
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
是严格递增,所以
b
n
+
1
−
b
n
>
0
{\displaystyle b_{n+1}-b_{n}>0}
。故以下式子成立:
(
l
−
ϵ
/
2
)
(
b
n
+
1
−
b
n
)
<
a
n
+
1
−
a
n
<
(
l
+
ϵ
/
2
)
(
b
n
+
1
−
b
n
)
,
∀
n
>
ν
.
{\displaystyle (l-\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n})<a_{n+1}-a_{n}<(l+\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n}),\,\forall n>\nu .}
接着可以注意到
a
n
=
[
(
a
n
−
a
n
−
1
)
+
⋯
+
(
a
ν
+
2
−
a
ν
+
1
)
]
+
a
ν
+
1
.
{\displaystyle a_{n}=[(a_{n}-a_{n-1})+\dots +(a_{\nu +2}-a_{\nu +1})]+a_{\nu +1}.}
因此,将刚刚的不等式套入
a
n
{\displaystyle a_{n}}
的等式中,我们可以得到
(
l
−
ϵ
/
2
)
(
b
n
−
b
ν
+
1
)
+
a
ν
+
1
=
(
l
−
ϵ
/
2
)
[
(
b
n
−
b
n
−
1
)
+
⋯
+
(
b
ν
+
2
−
b
ν
+
1
)
]
+
a
ν
+
1
<
a
n
a
n
<
(
l
+
ϵ
/
2
)
[
(
b
n
−
b
n
−
1
)
+
⋯
+
(
b
ν
+
2
−
b
ν
+
1
)
]
+
a
ν
+
1
=
(
l
+
ϵ
/
2
)
(
b
n
−
b
ν
+
1
)
+
a
ν
+
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}.\end{aligned}}}
现在因为当
n
→
+
∞
{\displaystyle n\to +\infty }
时,
b
n
→
+
∞
{\displaystyle b_{n}\to +\infty }
,因此存在
n
0
>
0
{\displaystyle n_{0}>0}
使得
∀
n
>
n
0
,
{\displaystyle \forall n>n_{0},}
b
n
>
0
{\displaystyle b_{n}>0}
。接着在
a
n
{\displaystyle a_{n}}
的不等式两边同除以
b
n
{\displaystyle b_{n}}
可以得出
∀
n
>
max
{
ν
,
n
0
}
,
{\displaystyle \forall n>\max\{\nu ,n_{0}\},}
(
l
−
ϵ
/
2
)
+
a
ν
+
1
−
b
ν
+
1
(
l
−
ϵ
/
2
)
b
n
<
a
n
b
n
<
(
l
+
ϵ
/
2
)
+
a
ν
+
1
−
b
ν
+
1
(
l
+
ϵ
/
2
)
b
n
.
{\displaystyle (l-\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l-\epsilon /2)}{b_{n}}}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l+\epsilon /2)}{b_{n}}}.}
接着我们定义数列
c
n
±
:=
a
ν
+
1
−
b
ν
+
1
(
l
±
ϵ
/
2
)
b
n
.
{\displaystyle c_{n}^{\pm }:={\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}.}
观察这两个数列,可以发现因为
b
n
→
+
∞
{\displaystyle b_{n}\to +\infty }
以及分子部分不是变数,所以皆收敛至
0
{\displaystyle 0}
。因此我们有
∀
ϵ
/
2
>
0
,
{\displaystyle \forall \epsilon /2>0,}
∃
n
±
>
n
0
>
0
{\displaystyle \exists n_{\pm }>n_{0}>0}
使得
|
c
n
+
|
<
ϵ
/
2
,
∀
n
>
n
+
,
|
c
n
−
|
<
ϵ
/
2
,
∀
n
>
n
−
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&|c_{n}^{+}|<\epsilon /2,\,\forall n>n_{+},\\&|c_{n}^{-}|<\epsilon /2,\,\forall n>n_{-}.\end{aligned}}}
附注:因为现在只专注在
c
n
±
{\displaystyle c_{n}^{\pm }}
本身,并没有考虑
c
n
±
{\displaystyle c_{n}^{\pm }}
与不等式的关系,故
n
{\displaystyle n}
不必大于
ν
{\displaystyle \nu }
。又因为可能找到一个
n
′
≤
n
0
{\displaystyle n'\leq n_{0}}
使得
b
n
′
=
0
{\displaystyle b_{n'}=0}
,故
n
{\displaystyle n}
一定要大于
n
0
{\displaystyle n_{0}}
。
最后,将以上不等式结合起来可以得到
∀
ϵ
>
0
,
{\displaystyle \forall \epsilon >0,}
∃
N
:=
max
{
ν
,
n
±
}
>
0
{\displaystyle \exists N:=\max \lbrace \nu ,n_{\pm }\rbrace >0}
使得
l
−
ϵ
<
l
−
ϵ
/
2
+
c
n
−
<
a
n
b
n
<
l
+
ϵ
/
2
+
c
n
+
<
l
+
ϵ
,
∀
n
>
N
.
{\displaystyle l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{n}^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{n}^{+}<l+\epsilon ,\,\forall n>N.}
亦即,
lim
n
→
+
∞
a
n
b
n
=
l
.
{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.}
若
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
换成是严格递减并发散至
−
∞
{\displaystyle -\infty }
的话,其证明的方法和上述的过程类似。
第二种: 已知
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
为严格递增并发散至
+
∞
{\displaystyle +\infty }
,而且
l
=
+
∞
{\displaystyle l=+\infty }
,因此我们有
∀
2
M
>
0
,
{\displaystyle \forall 2M>0,}
∃
ν
>
0
{\displaystyle \exists \nu >0}
使得
∀
n
>
ν
,
{\displaystyle \forall n>\nu ,}
a
n
+
1
−
a
n
b
n
+
1
−
b
n
>
2
M
.
{\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M.}
一样地,将刚刚的不等式套入
a
n
{\displaystyle a_{n}}
的等式中,我们可以得到
a
n
>
2
M
(
b
n
−
b
ν
+
1
)
+
a
ν
+
1
,
∀
n
>
ν
,
{\displaystyle a_{n}>2M(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1},\,\forall n>\nu ,}
以及
a
n
b
n
>
2
M
+
a
ν
+
1
−
2
M
b
ν
+
1
b
n
,
∀
n
>
max
{
ν
,
n
0
}
.
{\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}},\,\forall n>\max\{\nu ,n_{0}\}.}
接着我们定义的数列
c
n
:=
a
ν
+
1
−
2
M
b
ν
+
1
b
n
{\displaystyle c_{n}:={\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}}}
会收敛至
0
{\displaystyle 0}
,故我们有
∀
M
>
0
,
{\displaystyle \forall M>0,}
∃
n
¯
>
n
0
>
0
{\displaystyle \exists {\bar {n}}>n_{0}>0}
使得
−
M
<
c
n
<
M
,
∀
n
>
n
¯
.
{\displaystyle -M<c_{n}<M,\,\forall n>{\bar {n}}.}
最后,将以上不等式结合起来可以得到
∀
M
>
0
,
{\displaystyle \forall M>0,}
∃
N
:=
max
{
ν
,
n
¯
}
>
0
{\displaystyle \exists N:=\max \lbrace \nu ,{\bar {n}}\rbrace >0}
使得
a
n
b
n
>
2
M
+
c
n
>
M
,
∀
n
>
N
.
{\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{n}>M,\,\forall n>N.}
亦即,
lim
n
→
+
∞
a
n
b
n
=
+
∞
.
{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty .}
若考虑
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
为严格递增或严格递减,以及发散至
+
∞
{\displaystyle +\infty }
或
−
∞
{\displaystyle -\infty }
的话,其证明的方法皆和上述的过程相同。
0/0 的情况
第一种: 已知
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
为严格递减并收敛至
0
{\displaystyle 0}
,而且
−
∞
<
l
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <l<+\infty }
,因此我们有
∀
ϵ
/
2
>
0
,
{\displaystyle \forall \epsilon /2>0,}
∃
n
0
>
0
{\displaystyle \exists n_{0}>0}
使得
∀
n
>
n
0
,
{\displaystyle \forall n>n_{0},}
|
a
n
+
1
−
a
n
b
n
+
1
−
b
n
−
l
|
<
ϵ
2
,
{\displaystyle \left|\,{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-l\,\right|<{\frac {\epsilon }{2}},}
也就是说
l
−
ϵ
/
2
<
a
n
+
1
−
a
n
b
n
+
1
−
b
n
<
l
+
ϵ
/
2
,
∀
n
>
n
0
.
{\displaystyle l-\epsilon /2<{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<l+\epsilon /2,\,\forall n>n_{0}.}
因为
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
为严格递减,所以
(
l
−
ϵ
/
2
)
(
b
n
−
b
n
+
1
)
<
a
n
−
a
n
+
1
<
(
l
+
ϵ
/
2
)
(
b
n
−
b
n
+
1
)
,
∀
n
>
n
0
.
{\displaystyle (l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+1})<a_{n}-a_{n+1}<(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+1}),\,\forall n>n_{0}.}
接着可以注意到对于每一个
ν
>
0
,
{\displaystyle \nu >0,}
a
n
=
[
(
a
n
−
a
n
+
1
)
+
⋯
+
(
a
n
+
ν
−
1
−
a
n
+
ν
)
]
+
a
n
+
ν
.
{\displaystyle a_{n}=[(a_{n}-a_{n+1})+\dots +(a_{n+\nu -1}-a_{n+\nu })]+a_{n+\nu }.}
因此,将刚刚的不等式套入
a
n
{\displaystyle a_{n}}
的等式中,我们可以得到
(
l
−
ϵ
/
2
)
(
b
n
−
b
n
+
ν
)
+
a
n
+
ν
=
(
l
−
ϵ
/
2
)
[
(
b
n
−
b
n
+
1
)
+
⋯
+
(
b
n
+
ν
−
1
−
b
n
+
ν
)
]
+
a
n
+
ν
<
a
n
a
n
<
(
l
+
ϵ
/
2
)
[
(
b
n
−
b
n
+
1
)
+
⋯
+
(
b
n
+
ν
−
1
−
b
n
+
ν
)
]
+
a
n
+
ν
=
(
l
+
ϵ
/
2
)
(
b
n
−
b
n
+
ν
)
+
a
n
+
ν
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }.\end{aligned}}}
现在因为
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
为严格递减并收敛至
0
{\displaystyle 0}
,所以可以保证
b
n
>
0
,
∀
n
∈
N
+
.
{\displaystyle b_{n}>0,\,\forall n\in \mathbb {N} ^{+}.}
故以下式子成立:
(
l
−
ϵ
/
2
)
+
a
n
+
ν
−
b
n
+
ν
(
l
−
ϵ
/
2
)
b
n
<
a
n
b
n
<
(
l
+
ϵ
/
2
)
+
a
n
+
ν
−
b
n
+
ν
(
l
+
ϵ
/
2
)
b
n
,
∀
n
>
n
0
.
{\displaystyle (l-\epsilon /2)+{\frac {a_{n+\nu }-b_{n+\nu }(l-\epsilon /2)}{b_{n}}}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+\epsilon /2)+{\frac {a_{n+\nu }-b_{n+\nu }(l+\epsilon /2)}{b_{n}}},\,\forall n>n_{0}.}
接着我们定义数列
c
ν
±
:=
a
n
+
ν
−
b
n
+
ν
(
l
±
ϵ
/
2
)
b
n
.
{\displaystyle c_{\nu }^{\pm }:={\frac {a_{n+\nu }-b_{n+\nu }(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}.}
观察这两个数列,可以发现若只考虑
ν
{\displaystyle \nu }
在变动并将其取的很大,则
c
ν
±
{\displaystyle c_{\nu }^{\pm }}
会收敛至
0
{\displaystyle 0}
。因此我们有
∀
ϵ
/
2
>
0
,
{\displaystyle \forall \epsilon /2>0,}
∃
ν
±
>
0
{\displaystyle \exists \nu _{\pm }>0}
使得
|
c
ν
+
|
<
ϵ
/
2
,
∀
ν
>
ν
+
,
|
c
ν
−
|
<
ϵ
/
2
,
∀
ν
>
ν
−
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&|c_{\nu }^{+}|<\epsilon /2,\,\forall \nu >\nu _{+},\\&|c_{\nu }^{-}|<\epsilon /2,\,\forall \nu >\nu _{-}.\end{aligned}}}
最后,将以上不等式结合起来可以得到
∀
ϵ
>
0
,
{\displaystyle \forall \epsilon >0,}
∃
n
0
>
0
{\displaystyle \exists n_{0}>0}
使得
l
−
ϵ
<
l
−
ϵ
/
2
+
c
ν
−
<
a
n
b
n
<
l
+
ϵ
/
2
+
c
ν
+
<
l
+
ϵ
,
∀
n
>
n
0
.
{\displaystyle l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{\nu }^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{\nu }^{+}<l+\epsilon ,\,\forall n>n_{0}.}
亦即,
lim
n
→
+
∞
a
n
b
n
=
l
.
{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.}
第二种: 已知
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
为严格递减并收敛至
0
{\displaystyle 0}
,而且
l
=
+
∞
{\displaystyle l=+\infty }
,因此我们有
∀
2
M
>
0
,
{\displaystyle \forall 2M>0,}
∃
n
0
>
0
{\displaystyle \exists n_{0}>0}
使得
∀
n
>
n
0
,
{\displaystyle \forall n>n_{0},}
a
n
+
1
−
a
n
b
n
+
1
−
b
n
>
2
M
⟹
a
n
−
a
n
+
1
>
2
M
(
b
n
−
b
n
+
1
)
.
{\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M\implies a_{n}-a_{n+1}>2M(b_{n}-b_{n+1}).}
一样地,将刚刚的不等式套入
a
n
{\displaystyle a_{n}}
的等式中,我们可以得到
a
n
>
2
M
(
b
n
−
b
n
+
ν
)
+
a
n
+
ν
,
∀
n
>
n
0
,
{\displaystyle a_{n}>2M(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu },\,\forall n>n_{0},}
以及因为
b
n
>
0
,
∀
n
∈
N
+
{\displaystyle b_{n}>0,\,\forall n\in \mathbb {N} ^{+}}
,所以
a
n
b
n
>
2
M
+
a
n
+
ν
−
2
M
b
n
+
ν
b
n
,
∀
n
>
n
0
.
{\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}},\,\forall n>n_{0}.}
接着我们定义的数列
c
ν
:=
a
n
+
ν
−
2
M
b
n
+
ν
b
n
{\displaystyle c_{\nu }:={\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}}}
会收敛至
0
{\displaystyle 0}
,故我们有
∀
M
>
0
,
{\displaystyle \forall M>0,}
∃
ν
¯
>
0
{\displaystyle \exists {\bar {\nu }}>0}
使得
−
M
<
c
ν
<
M
,
∀
ν
>
ν
¯
.
{\displaystyle -M<c_{\nu }<M,\,\forall \nu >{\bar {\nu }}.}
最后,将以上不等式结合起来可以得到
∀
M
>
0
,
{\displaystyle \forall M>0,}
∃
n
0
>
0
{\displaystyle \exists n_{0}>0}
使得
a
n
b
n
>
2
M
+
c
ν
>
M
,
∀
n
>
n
0
.
{\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{\nu }>M,\,\forall n>n_{0}.}
亦即,
lim
n
→
+
∞
a
n
b
n
=
+
∞
.
{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty .}
直观解释
利用与折线斜率的类比,该定理具有直观的几何意义。[3]