高斯判别法
高斯判别法是正项级数敛散性的一种判别方法,方法是将级数相邻项的比()写成的线性函数和余项(与有界量相乘的)之和,分析各系数来判断级数收敛与否,可以视作达朗贝尔判别法、拉阿伯判别法和贝特朗判别法的推论。
定理
设 是要判断审敛性的级数,其中(至少从某一项开始) 。倘若其相邻项比值 可以被表示为:
其中 和 都是常数,而 是一个有界的序列,那么 [1][2][3][4][5]:
- 当 或 时,级数收敛;
- 当 或 时,级数发散。
证明: - 时,因 ,可用达朗贝尔判别法判别;
- 而 时,因 ,可用拉阿伯判别法判别;
- 时,因 ,依据贝特朗判别法,级数发散。
参考文献
- ^ Konrad Knopp. Theory and Application of Infinite Series. London: Blackie & Son Ltd. 1954.
- ^ Sayel A. Ali. The mth Ratio Test: New Convergence Test for Series. The American Mathematical Monthly. 2008, 115 (6): 514–524.
- ^ Kyle Blackburn. The mth Ratio Convergence Test and Other Unconventional Convergence Tests (PDF). University of Washington College of Arts and Sciences. 4 May 2012 [27 November 2018]. (原始内容存档 (PDF)于2021-05-06).
- ^ František Ďuriš. Infinite series: Convergence tests (学位论文). Katedra Informatiky, Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského, Bratislava. 2009 [28 November 2018]. (原始内容存档于2010-09-20).
- ^ Г. М. 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程(第二卷)(第8版) 第二版. 2006: 230. ISBN 978-7-04-018304-7.