设两个正项级数 和 ,且 :
如果级数 收敛,则级数 收敛;
如果级数 发散,则级数 发散。
证明1
设 当 时,则有 :
当级数 收敛时,数列 有界,从而数列 有界,所以级数 收敛;
当级数 发散时,数列 无界,从而数列 无界,所以级数 发散。
证明2
设有级数 与 ,其中 绝对收敛( 收敛)。不失一般性地假设对于任何正整数n,都满足 。考虑它们的部分和 由于 绝对收敛,存在实数T,使得 成立。
对于任意n,都有 (因满足 )
由于 为单调不下降序列, 为单调不上升序列(随着n上升,属于 的便多过属于 ),给定 , 都属于闭区间 ,当N趋向无穷大时,这个区间的长度 趋向于0。这表明 是一个柯西序列,因此收敛于一个极限值。因此 绝对收敛。