极限比较审敛法是判别级数敛散性的一种方法。
无穷级数
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无穷级数
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描述
假设存在两个级数 与 ,且对于任意 都有 。
如果 ( ),那么两级数同时收敛或发散。
证明
对 ,我们知道对于任意 都存在一正整数 使得当 时有 ,等价于
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由于 ,我们可以让 足够小使得 为正。
因此 ,根据比较审敛法,如果 收敛,则 同样收敛。
类似地, ,如果 收敛,根据比较审敛法, 亦收敛。
因此二者同时收敛或发散。
例子
判断 是否收敛。我们将其与收敛级数 进行比较。
由于 ,我们可以得出原级数收敛。
参见
参考来源
- Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, 互联网档案馆)
- Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR (页面存档备份,存于互联网档案馆))
- J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR (页面存档备份,存于互联网档案馆))
外部链接