极限比较审敛法

极限比较审敛法是判别级数敛散性的一种方法。

无穷级数
无穷级数

描述

假设存在两个级数  ,且对于任意 都有 

如果  ),那么两级数同时收敛或发散。

证明

 ,我们知道对于任意 都存在一正整数 使得当  时有 ,等价于

 
 
 

由于 ,我们可以让 足够小使得 为正。 因此 ,根据比较审敛法,如果 收敛,则 同样收敛。

类似地, ,如果 收敛,根据比较审敛法, 亦收敛。

因此二者同时收敛或发散。

例子

判断 是否收敛。我们将其与收敛级数 进行比较。

由于 ,我们可以得出原级数收敛。

参见

参考来源

  • Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, 互联网档案馆
  • Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR页面存档备份,存于互联网档案馆))
  • J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR页面存档备份,存于互联网档案馆))

外部链接