条件收敛

条件收敛的级数

给定一个实数项无穷级数${\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}}$ ，如果它自身收敛于一个定值${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$ ：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=C,}$ 

但由每一项的绝对值构成的正项级数：${\displaystyle A_{s}=\sum _{n}|a_{n}|}$ 不收敛：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\infty ,}$ 

那么就称这个无穷级数${\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}}$ 是一个条件收敛的无穷级数。^[1]:149

条件收敛的广义积分

给定一个在区间${\displaystyle [a,\infty )}$ 上有定义的函数${\displaystyle f(x)}$ ，如果${\displaystyle f(x)}$ 在任意的闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 上都可积，并且广义积分：

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$ 

收敛，而函数绝对值的广义积分：

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }|f(x)|\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x}$ 

发散，那么就称广义积分${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}$ 条件收敛。^[2]:104

无穷级数

常见的条件收敛的无穷级数包括交错调和级数：

${\displaystyle A_{h}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$ 

它收敛到定值：${\displaystyle \ln 2}$ ，而对应的由每项的绝对值构成的正项函数：${\displaystyle H=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}}$ 叫做调和级数，是发散的。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty .}$ 

广义积分

条件收敛的广义积分的一个例子是函数：${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$ 在正实数轴上的积分：

${\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}$ 

任取实数${\displaystyle a>1}$ ，运用分部积分法可以得到：

${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-{\frac {\cos a}{a}}-\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}$ 

而对任意的正实数${\displaystyle A,B>1}$ ：

${\displaystyle {\Bigg |}\int _{A}^{B}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x{\Bigg |}\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {|\cos x|}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant {\frac {1}{A}}}$ 

由柯西收敛原理可知广义积分${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}$ 收敛，所以

${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-\lim _{a\to +\infty }{\frac {\cos a}{a}}-\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x=\cos 1-\int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}$ 

即积分：${\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}$ 收敛。但是，绝对值函数的积分：${\displaystyle I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x}$ 不收敛。这是因为对任意自然数${\displaystyle k}$ ，积分：

${\displaystyle I_{k}=\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin x|}{(k+1)\pi }}\mathrm {d} x={\frac {2}{(k+1)\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {1}{k+1}}}$ 

所以

${\displaystyle I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \sum _{k=1}^{+\infty }I_{k}\geqslant {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k+1}}=+\infty }$ 

因此，积分${\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}$ 是条件收敛的。^[2]:104-106

• 黎曼级数定理：假设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数${\displaystyle C}$ ，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列${\displaystyle \sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)}$ ，使得

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.}$ 

此外，也存在另一种排列${\displaystyle \sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)}$ ，使得

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .}$ 

类似地，也可以有办法使它的部分和趋于${\displaystyle -\infty }$ ，或没有任何极限。^[3]:192

反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。^[3]:193

• 无条件收敛
• 绝对收敛