黎曼级数定理(亦称黎曼重排定理),是一个有关于无穷级数性质的数学定理,得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明,如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的,它的项在重新排列后,重新排列后的级数收敛的值可以收敛到任何一个给定的值,甚至发散。
许多有限项级数具有的性质,在一般的无穷级数不一定满足,例如一般的有限项级数可以重新排列各项,其级数和不会改变,但在无穷级数中,只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各项而不改变收敛值。
相关定义
给定无穷级数 ,其部分和为: 。如果部分和的数列
-
收敛于某个数值: ,则级数收敛。也就是说,如果对于任何的 ,总存在一个整数N,使得如果 ,则
- .
那么级数 收敛。如果级数 收敛,但级数 发散,则称此级数是条件收敛的。[1]:149
定理的陈述
假设 是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数 ,都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列 ,使得
-
此外,也存在另一种排列 ,使得
-
类似地,也可以有办法使它的部分和趋于 ,或没有任何极限。[2]:192
反之,如果级数是绝对收敛的,那么无论怎样重排,它仍然会收敛到同一个值,也就是级数的和。[2]:193
例子
交错调和级数是条件收敛级数的一个经典的例子:
-
收敛,而
-
是调和级数,它是发散的。虽然在标准的表示法中,交错调和级数收敛于ln(2),我们可以把它的项重新排列,使它收敛于任何一个数,甚至发散。例如,如果排列为以下的形式,
-
- 那么这时的和等于
可以看出,它的和是原来的和的一半。[1]:153-154[3]:108-111
趋近任一个实数
将交错调和级数重排趋向1.5的步骤:从1开始,将正项按顺序相加,直到超过1.5(红点处),然后加入负项,直到低于1.5(绿点),再开始累加正项……
用不同的排列方法,可以让交错调和级数趋向任意一个给定的实数。事实上,由于调和级数 是发散的,它的部分和可以近似估计为:
-
其中 表示一个当N趋于无穷大时的无穷小, 指欧拉常数。如果将调和级数 中所有负项(也就是所有偶数项)相加,得到的级数会是:
-
它的部分和是:
-
因此所有正项相加的级数 的部分和是:
-
这也是一个发散级数,趋向正无穷。因此,对任意给定的正实数 ,可以使用以下的算法来构造出趋向 的重排级数 的每一项:
- 从第一项起,将 中的正项(奇数项)从前往后放入,一直放到超过 为止:必定存在一个自然数 ,使得 (假设 )。将第1至第 项定义为:
-
- 从第 项开始,将 中的负项(偶数项)从前往后放入,一直放到小于 为止:必定存在一个自然数 ,使得 。将第 至第 项定义为:
-
交替重复这两步来重排级数,可以将重排级数的部分和 保持在 上下,而因为 是重复第k步时首次“跨过” 时候的值,因而它与 的差距必定不超过“跨越”时的“步长”,也就是 。随着 越来越大, 与 的差距也会越来越趋近于0. 因此使用这个算法构造出来的重排级数 最终会收敛于 。[3]:111-113
证明
对一般的条件收敛级数,也可以用以上的算法来证明黎曼级数定理。上文中有关交错调和级数的算法之所以成立,原因有二:首先,所有正项构成的级数发散到正无穷大,所有负项构成的级数发散到负无穷大,所以每次超出(低于)目标值 以后,只要不停地累加,必然能够再次低于(超出)目标值 ;其次,调和级数是由 相加而成,而随着 趋向无穷, 趋向于0,也就是说“步长”趋向0,所以最终能够收敛。所以只需要证明,任何条件收敛级数都满足这两个性质:
- 所有正项构成的级数和所有负项构成的级数都是发散的;
- 级数的项随着项数趋于无穷而趋于0.
就能证明黎曼级数定理成立了。
性质一:
设有给定的条件收敛级数 ,级数和为 。为了简便起见,假设 中每一项都不等于0(否则可以随意将它们重排在任何地方)。 中的正项和负项必定都有无穷多个。将 中所有大于0的项按照它们原来在 中的顺序重新标号排列,可以得到由所有正项排列而成的级数 。同样可以建立由所有负项排列而成的级数 。
是一个正项级数,所以它要么收敛到某个定值,要么发散到正无穷大。假设 收敛到某个定值 ,那么可以证明 也是收敛级数,级数和为 。因而可以证明,级数 也是收敛级数,这与 是条件收敛级数的设定矛盾。所以, 发散到正无穷大。同理可证, 发散到负无穷大。[1]:154-155
性质二:
设 是一个条件收敛的级数,级数和为 。这说明,级数 的部分和 趋向极限 。所以对任意 ,存在自然数 使得对任意 ,都有:
-
所以对任意 ,
-
这说明当 趋于无穷大时, 趋于0.
证明了性质一与性质二后,就可以用上文提到的算法构造趋向任何实数甚至发散的重排方式。对于任意实数 ,不妨假设 . 首先将 的项按顺序累加,直到部分和超过 为止,然后再将 的项按顺序累加在其后,直到部分和小于 为止,接着再将 剩余的项按顺序累加在其后,直到部分和超过 为止……这个算法可以一直进行下去,因为根据性质一, 和 都是发散的。而在执行算法的过程中,部分和与 会越来越接近。因为无论是在部分和低于 ,逐项增加到超过 的过程中,还是在部分和超过了 ,逐项减少到低于 的过程中,部分和与 的差距(绝对值)都不超过前一次“跨越” 值的那一刻,部分和与 的差距。而这个差距又小于等于部分和“跨越” 值时的“步长”。假设第 次“跨越”的是在累加第 项的时候发生的,那么直到第 次“跨越”时,部分和与 的差距都小于等于 。随着 趋于无穷大, 也趋于无穷大,因而根据性质二, 趋于0,也就是说部分和与 的差距趋于0。这等价于说重排后的级数 收敛于 。
如果 ,只需要将算法中的正负项颠倒即可。如果将算法中第 次累加正项要超越的值从 改为 ,然后累加负项直到低于 ,再开始第 次累加正项直到超越 ,如此以往,就能得到发散到正无穷大的重排级数。反之也能得到发散到负无穷大的重排级数。而如果将算法中每次累加正项要超过的值设为1,将每次累加负项要低于的值设为0,那么重排级数的值将在0和1左右上下反复摆动,从而不收敛于任何定值。这就是黎曼级数定理。[2]:193-197[1]:154-156
推广
此定理可推广至斯坦尼兹定理。给定一个复数收敛级数∑ an,则重排后的级数∑ aσ (n)之和有以下几种可能:
- 级数∑ an为绝对收敛,所以任何重排后的级数和都收敛到同一个值。
- 级数∑ an为条件收敛。令S为所有重排级数之和的集合,则S要不为整个复数平面C,要不为复数平面上C上的一条线L
-
更一般的说,给定一个有限维度实向量空间E,考虑其向量组成的收敛级数,则重排级数之和的集合为E的仿射子空间。
参考来源
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 J. A. Fridy. Introductory analysis: the theory of calculus. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550.
- ^ 2.0 2.1 2.2 S. Ponnusamy. Foundations of mathematical analysis. Springer. 2012. ISBN 9780817682927.
- ^ 3.0 3.1 D. A. Brannan. A First Course in Mathematical Analysis. Cambridge University Press. 2006. ISBN 9781139458955.