在线性代数与泛函分析中,一个线性算子 L 的核(英语:kernel,也称作零空间,英语:null space)是所有使 L(v) = 0 的v的集合。这就是如果 L: V →W,则
这里 0 表示 W 中的零向量。L 的核是定义域 V 的一个线性子空间。
一个线性算子 Rm → Rn 的核与对应的 n × m 矩阵的零空间相同。
性质
如果 L: V → W,则 V 中两个元素在 W 中有相同的像当且仅当它们的差在 L 的核中:
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从而 L 的像同构于 V 被这个核的商空间:
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当 V 是有限维的,这蕴含着秩-零化度定理:
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当 V 是一个内积空间是,商 V / ker(L) 可以与 ker(L) 在 V 中的正交补等同。这是一个矩阵的行空间的线性算子的推广。
例子
- 如果 L: Rm → Rn,则 L 的核是一个齐次线性方程组的解集。例如,如果 L 是算子:
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则 L 的核是方程组
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的解集。
- 令 C[0,1] 表示区间 [0,1] 上所有连续实值函数组成的向量空间,定义 L: C[0,1]→ R 为
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则 L 的核由所有使得 f(0.3) =0 的函数 f ∈ C[0,1]。
- 令 C∞(R) 是所有无穷可微函数 R → R 的向量空间,并设 D: C∞(R) → C∞(R) 是微分算子:
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则 D 的核由 C∞(R) 中所有导数都是零的函数组成,即常值函数。
- 令 R∞ 是无穷个 R 的直和,并设 s: R∞ → R∞ 为移位算子
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则 s 的核是由所有向量 (x1, 0, 0, ...) 组成的一维子空间。注意 s 是映上的,却有非平凡的核。
- 如果 V 是一个内积空间,W 是一个子空间,正交投影 V → W 的核是 W 在 V 中的正交补。
泛函分析中的核
如果 V 和 W 是拓扑向量空间(且 W 是有限维的),则一个线性算子 L: V → W 是连续的当且仅当 L 的核是 V 的一个闭子空间。
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