巴拿赫极限
在数学分析中,巴拿赫极限(英语:Banach limit)指的是定义在全体有界复序列组成的巴拿赫空间上,对每个中的序列、和复数满足:
- (线性);
- 若对每个有,则(正定性);
- ,其中是移位算子,定义为(移位不变性);
- 若是收敛序列,则
的连续线性泛函。
因此,是对连续线性泛函的延拓,其中是中收敛到某个极限的全体序列组成的复向量空间。进而可以视为发散级数论中的一个可和法。
换句话说,巴拿赫极限是对通常意义下极限概念的延拓,并且是线性、移位不变、正定的。可以对某个序列找到两个巴拿赫极限,使得各自作用下得到两个不同的值,我们称这类序列的巴拿赫极限不是唯一确定的。
作为上述性质的一个推论,每个实值巴拿赫极限也满足:
巴拿赫极限的存在性通常需要应用哈恩-巴拿赫定理证明(分析学方法)[1],也可以应用超滤子(这种方法在集合论的讨论中出现得更频繁)[2]。这些证明都一定会用到选择公理(即所谓的非构造证明)。
几乎收敛
某些不收敛的级数在巴拿赫极限的作用下是唯一确定的。 例如 ,注意到 是常序列,并且
因此对每个巴拿赫极限而言,它以 为极限。
我们将每个巴拿赫极限 下有相同的 的有界序列 称为几乎收敛的。
Ba 空间
在 中给定收敛序列 ,如果考虑对偶 , 通常的极限并不由 的某个元素给出。实际上 是 的连续对偶空间(对偶巴拿赫空间);反过来, 虽然能诱导出 中的连续线性泛函,但并不是全部。每个 上的巴拿赫极限都是 的对偶巴拿赫空间中的一个元素,但不在 中。 的对偶叫做ba空间,由一切自然数集子集的σ-代数上有限可加(符号)测度组成,或者等价地说是由每个自然数集的Stone–Čech紧化上的波莱尔(符号)测度组成。
外部链接
- 巴拿赫极限. PlanetMath.
参考
- Balcar, Bohuslav; Štěpánek, Petr. Teorie množin 2. Praha: Academia. 2000. ISBN 802000470X (捷克语).
- Conway, John B. A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics 96. New York: Springer. 1994. ISBN 0-387-97245-5.