在一般的欧氏平面几何中,勾股定理说明直角三角形的两个直角边之长度的平方加起来等于斜边的平方。从另一种角度来看,若在平面上定义了一个直角坐标系xOy(单位向量分别是 ),那么一个向量和它在这两个坐标轴方向上的投影构成一个直角三角形,因此,向量的长度的平方等于它在两个坐标轴方向上的投影的长度的平方之和。
对于一个有限维的欧几里得空间 以及其中的标准规范正交基 ,空间中的一个向量 的长度的平方等于它在各个基向量上的投影的长度的平方之和:
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在一般的希尔伯特空间之中,也有类似的等式。设 是一个装备了内积: 的希尔伯特空间。考虑 中的一组规范正交基: ,那么 中的每一个向量的范数的平方都等于它在各个基向量上的投影的平方之和。
假定A(x)和B(x)都是平方可积的(参照勒贝格测度)复变函数,且定义在R上周期为2π的区间上,分别写成傅里叶级数的形式:
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和
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然后
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这里的i是虚数单位而上划线(horizontal bars)表示复共轭运算。
一般地, 给定一个交换的拓扑群 G 和它的Pontryagin对偶 G^, 帕塞瓦尔定理 says the Pontryagin–Fourier transform is a unitary operator between Hilbert spaces L2(G) and L2(G^) (with integration being against the appropriately scaled Haar measures on the two groups.) When G is the unit circle T, G^ is the integers and this is the case discussed above. When G is the real line R, G^ is also R and the unitary transform is the Fourier transform on the real line. When G is the cyclic group Zn, again it is self-dual and the Pontryagin–Fourier transform is what is called discrete-time Fourier transform in applied contexts.
连续傅立叶变换(CTFT)的帕塞瓦尔定理
其中, 是 的共轭复数。
离散时间傅立叶变换(DTFT)的帕塞瓦尔定理
其中, 是 的共轭复数。
连续时间傅立叶级数(CTFS)的帕塞瓦尔定理
令x(t)是周期为 的连续时间函数。
是其连续时间傅立叶级数。
离散时间傅里叶级数(DTFS)的帕塞瓦尔定理
x[n]是长度为N的离散时间信号, 为其离散时间傅立叶级数,亦即 。
其中 是角基频, 。
离散傅立叶变换(DFT)的帕塞瓦尔定理
令 为一长度是N点的离散时间信号,仅在0≤n≤N-1有值, for or 。
其DFT为 ,亦为一长度是N点的离散时间信号,仅在0≤k≤N-1有值, for or 。
设 。