加伯–韦格纳转换

加伯–韦格纳转换（Gabor Wigner Transform）是一种时频分析的工具，由加伯转换（Gabor Transfrom）及韦格纳转换（Wigner Transform）两种时频分析工具所组合而成，加伯转换根据丹尼斯·盖博所命名，而韦格纳转换则是根据尤金·维格纳，原名维格纳·帕尔·耶诺所命名。加伯转换是一窗函数为高斯函数的短时距傅立叶变换，由于传统短时距傅立叶变换的窗函数常为一矩形函数，由于矩形函数的傅立叶变换为一个Sinc函数，所以在做时频分析的时候容易会有Side lobe（页面存档备份，存于互联网档案馆）的现象，所以加伯转换尝试利用高斯函数来当作窗函数，三角波为两个矩形函数卷积而来，高斯函数则为无限多个矩形函数卷积而来所以在频域上代表无限多个Sinc函数相乘而来，这样相乘原先Sinc函数小于1的数值越乘越小，Side lobe（页面存档备份，存于互联网档案馆）的影响也跟着变小，但它必须遵守海森堡测不准原理，所以它的清晰度有它的极限。而韦格纳转换由于是对讯号的自相关函数做傅立叶转换，所以清晰度可以成功超越测不准原理所规范的极限。但它的缺点在于当一个讯号有两个以上的成分(component)所组成，分析出来的时频图就会产生严重的cross-term的现象。为了结合两者的优点所以S.C Pie和J.J.Ding在2007年提出了加伯-韦格纳转换。

数理定义

加伯韦格纳转换

原始定义:

D_{x}(t,f)=G_{x}(t,f)\times W_{x}(t,f)

---(1)

其中

G_{x}(t,f)

,

W_{x}(t,f)

分别代表加伯转换以及韦格纳转换的函数型式，定义如下:

G_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi (\tau -t)^{2}}e^{-j2\pi f\tau }x(\tau )\,d\tau

W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau

推广定义:

  $D_{x}(t,f)=min\{|G_{x}(t,f)|^{2},|W_{x}(t,f)|\}$ ----(2)
  $D_{x}(t,f)=W_{x}(t,f)\times \{|G_{x}(t,f)|>0.25\}$ --(3)
  $D_{x}(t,f)=G_{x}^{2.6}(t,f)W_{x}^{0.7}(t,f)$  -----------(4)

图例:

图(a)为一讯号利用加伯-韦格纳转换的原始定义所呈现出来的结果，图(b)(c)(d)则分别是用加伯-韦格纳转换的推广定义所呈现出来的图，在不同的情况以及需求下我们可以使用不同类型的加伯-韦格纳来符合我们的要求，例如(1)以及(4)时常被拿来分析地震，而(3)因为拥有较难评估的的门槛值(threshold)，所以并不适合用于地震分析，在影像处理上，(1)(2)(4)也都具有不错的效果，而目前(4)看起来有最好的成效，有此看来加伯-韦格纳转换在时频分析上十分的有弹性。

时频分析与小波转换

特性

不会有cross-term问题

cross-term问题主要发生在韦格纳转换( $W_{x}(t,f)$ )的过程中，因韦格纳转换并非线性，当被转换函式 $x(t)$ 有超过两个物件(component)或其因次(order)超过三，就有可能在时间-频率关系图中产生干扰(distortion)，导致Cross-Talk的产生。考虑函式 $x(t)=ag(t)+bs(t)$ 根据定义:

     $W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau$

带入函式 $x(t)=ag(t)+bs(t)$

     $W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }[ag(t+\tau /2)+bs(t+\tau /2)][a^{*}g(t-\tau /2)+b^{*}s(t+\tau /2)]e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau$ 
     $W_{x}(t,f)=|a^{2}|*W_{g}(t,f)+|b^{2}|*W_{s}(t,f)+\int _{-\infty }^{\infty }[ab^{*}g(t+\tau /2)s^{*}(t-\tau /2)+a^{*}bg^{*}(t-\tau /2)s(t+\tau /2)]e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau$

式子后面的积分项即为cross-term，其将影响时频分析的表现(performance)。加伯韦格纳转换利用线性的加伯转换对于韦格纳转换做乘积，将cross-term消掉，因此不会有cross-term问题，这对于滤波器设计的应用来说非常的重要。
图例:
假设 $x(t)=2cos((t-5)^{3}+4\pi \,t))$ ，下图是各种时频转换所呈现出来的图形，这里我们需要注意的是图(b)有严重的cross-term的现象

时频图比较

在某些情况下比加伯转换拥有更好的清晰度

加伯转换(G(t,f))在一些输入函式x(t)之下会有模糊(blur)的问题，考虑当被转换函式: $x(t)=e^{jat^{2}+jbt}$ 的情况。韦格纳转换在这种情况会有比加伯转换要好的表现，在加伯-韦格纳转换中，利用韦格纳的转换的特性去加强加伯转换的清晰度不足的问题。

应用

加伯韦格纳转换在图像处里(image processing)、滤波器设计(filter design)、信号取样(sampling)、信号调变(modulation)解调变(demodulation)、语音处理及生医工程上都有很好的表现。

滤波器设计

滤波器设计的目标是希望移除信号中我们不需要的部分，并尽量保留所需要的部分，利用加伯韦格纳转换，我们可以将原本在时域或频率域上的滤波器同时考虑，即为一种时频分析。其主要想法如下表示。

信号调变

调变的目的是想将信号放入一段特定时间或一段特定频段中，利用加伯韦格纳转换，我们能同时考虑在信号的时间和频率上面如何放入更多或更适合的信号型式(pattern)，且因没有cross-term问题的关系，会比韦格纳转换有更好的表现，

由上图图(WDF)一，也能发现当使用韦格纳转换(WDF)，其产生的cross-term会对调变造成很严重的影响。

加伯–韦格纳转换实现方法(简化技巧)

(1) 由于加伯转换相较于韦格纳转换复杂度较低，所以通常我们会优先选择计算加伯转换，韦格纳转换时则仅需要计算加伯转换不为0地方，因为其余地方数值趋近于0，相乘完数值依旧趋近于0，以数学式子表达也就是当 $G_{X}(t,f)\approx 0,D_{x}(t,f)=G_{x}^{\alpha }(t,f)W_{x}^{\beta }(t,f)\approx 0$

(2)当 $x(t)$ 是实函数时，对加伯转换而言 $X(f)=X^{*}(-f)$ ,这样我们在设计内存的时候就能够大幅的减少内存所需要的面积

整理

时频转换	优点	缺点	复杂度
加伯转换	没有cross term	清晰度较低	低
韦格纳转换	清晰度高	有cross term	中
加伯-韦格纳转换	清晰度高且没有cross term	运算时间长	高

补充

在数理定义中，我们提到不同类型的加伯-韦格纳转换，在这里我们做一个简单的比较与分析

今天假设有一个地震波反应(seismic response)，这个地震波在2到3秒是由一个8赫兹的sin波以及α值为1的高斯讯号所组成，在3到7秒则为4赫兹以及α值为-1的高斯讯号所组成所组成 $x(t)={\begin{cases}0,&\ t<2\\5e^{\alpha }{^{t^{2}}}sin(2\pi 8t),&\ 2\leq t\leq 3\\7.5e^{\alpha }{^{t^{2}}}sin(2\pi 4t),&\ 3\leq t\leq 7\end{cases}}$

我们将一般绘画频谱图(spectrograms)，红色区域(白色区域)代表最大的振幅(或者最大的能量)，而蓝色区域(黑色区域)则代表最小的震幅(或者最低的能量)。

我们分别代表加伯转换，韦格纳转换，利用(2)出来的加伯-韦格纳转换以及利用(4)出来的加伯-韦格纳转换。同时考虑到不同的窗函数长度(Window length)对各种时频分析的影响程度(数值越小代表效果越好)

我们发现相较于STFT，GT有更好的表现尤其在窗函数长度N =256的时候(数值为11.55)。在相同长度下WVD能达到10.69，GWT(1)(2)(4)分别能达到更好的表现，尤其在窗函数长度为512并利用GWT(4)能达到最低的熵(数值为9.06)

参考

Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform lecture note, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2012.
S. C. Pei and J. J. Ding, “Relations between Gabor transforms and fractional Fourier transforms and their applications for signal processing,” IEEE Trans.Signal Processing, vol. 55, no. 10, pp. 4839-4850, Oct. 2007.
Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2017.
Roshan Kumar,P. SumathiAshok Kumar,Analysis of frequency shifting in seismic signals using Gabor-Wigner transform,2015
Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.