线性代数基本定理

线性代数基本定理是秩为 r 的 m×n 矩阵A的奇异值分解:

${\displaystyle A=U\Sigma V^{T}\ }$

对于矩阵${\displaystyle A\in \mathbf {R} ^{m\times n}}$ (${\displaystyle A}$有${\displaystyle m}$行及${\displaystyle n}$列)产生了四个基本线性子空间:

子空间名字	定义	包含于	维数	基
列空间、值域或像	${\displaystyle \mathrm {im} (A)}$ 或 ${\displaystyle \mathrm {range} (A)}$	${\displaystyle \mathbf {R} ^{m}}$	${\displaystyle r}$	${\displaystyle \mathbf {U} }$ 的前 ${\displaystyle r}$ 列
左零空间或上核	${\displaystyle \mathrm {ker} (A^{T})}$ 或 ${\displaystyle \mathrm {null} (A^{T})}$	${\displaystyle \mathbf {R} ^{m}}$	${\displaystyle m-r}$	${\displaystyle \mathbf {U} }$ 的后 ${\displaystyle m-r}$ 列
行空间或余象	${\displaystyle \mathrm {im} (A^{T})}$ 或 ${\displaystyle \mathrm {range} (A^{T})}$	${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$	${\displaystyle r}$	${\displaystyle \mathbf {V} }$ 的前 ${\displaystyle r}$ 列
零空间或核	${\displaystyle \mathrm {ker} (A)}$ 或 ${\displaystyle \mathrm {null} (A)}$	${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$	${\displaystyle n-r}$	${\displaystyle \mathbf {V} }$ 的后 ${\displaystyle n-r}$ 列

Secondly:

1. In ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathrm {ker} (A)=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp }}$, 也就是, 零空间与行空间的正交补相同.
2. In ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m}}$, ${\displaystyle \mathrm {ker} (A^{T})=(\mathrm {im} (A))^{\perp }}$, 也就是, 左零空间为列空间的正交补.

矩阵A的四个基本子空间.

子空间的维数遵从秩-零化度定理.

进一步, 所有这些空间本质地定义于– 不必考虑基的选择 – 抽象向量空间, 算子, 对偶空间${\displaystyle A\colon V\to W}$ 与${\displaystyle A^{*}\colon W^{*}\to V^{*}}$: ${\displaystyle A^{*}}$的核与像是${\displaystyle A}$的上核与余象.