经验风险最小化

以下情况是许多有监督学习问题的一般设置。我们有两个空间，输入空间${\displaystyle X}$ 和输出空间${\displaystyle Y}$ ，我们的目标是学习（拟合）一个函数${\displaystyle \ h:X\to Y}$  （通常称为假设 ），这个函数在给定${\displaystyle x\in X}$ ，输出一个对象${\displaystyle y\in Y}$  。为此，我们可以使用一个包含 ${\displaystyle n}$ 个例子的训练集${\displaystyle \ (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$ ，其中${\displaystyle x_{i}\in X}$ 是输入， ${\displaystyle y_{i}\in Y}$ 是我们希望从${\displaystyle \ h(x_{i})}$ 中得到的相应输出 。

更正式地说，我们假设${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 服从联合概率分布 ${\displaystyle P(x,y)}${\displaystyle P(x,y)}   ，并且训练集包括${\displaystyle n}$ 个实例${\displaystyle \ (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$ IID地从${\displaystyle P(x,y)}$  抽取。请注意，联合概率分布的假设使我们可以对预测中的不确定性进行建模（例如，来自数据中的噪声），因为${\displaystyle y}$ 不是关于${\displaystyle x}$ 的确定性函数 ，而是在固定${\displaystyle x}$  时具有条件分布${\displaystyle P(y|x)}$ 的随机变量 。

我们还假定给定非负实值损失函数 ${\displaystyle L({\hat {y}},y)}$ 来衡量预测${\displaystyle {\hat {y}}}$ 与真实结果${\displaystyle y}$ 的差异。则假设${\displaystyle h(x)}$ 的风险定义为损失函数的期望值 ：

${\displaystyle R(h)=\mathbf {E} [L(h(x),y)]=\int L(h(x),y)\,dP(x,y).}$ 

理论上常用的损失函数是0-1损失函数 ： ${\displaystyle L({\hat {y}},y)={\begin{cases}1&{\mbox{ If }}\quad {\hat {y}}\neq y\\0&{\mbox{ If }}\quad {\hat {y}}=y\end{cases}}}$  。

学习算法的最终目标是在固定函数类${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 中找到风险${\displaystyle R(h)}$ 最小的假设${\displaystyle h^{*}}$ ：

${\displaystyle h^{*}=\arg \min _{h\in {\mathcal {H}}}R(h).}$ 

通常，无法计算风险${\displaystyle R(h)}$ ，因为学习算法不知道分布${\displaystyle P(x,y)}$ （这种情况称为无知学习）。但是，我们可以通过对训练集上的损失函数取平均值来计算一个近似值，称为经验风险：

${\displaystyle \!R_{\text{emp}}(h)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}L(h(x_{i}),y_{i}).}$ 

经验风险最小化原理^[1]指出学习算法应选择一个假设${\displaystyle {\hat {h}}}$ 将经验风险降到最低：

${\displaystyle {\hat {h}}=\arg \min _{h\in {\mathcal {H}}}R_{\text{emp}}(h).}$ 

因此，由ERM原理定义的学习算法在于解决上述优化问题。

计算复杂度

对于具有0-1损失函数的分类问题，即使对于像线性分类器这样的相对简单的函数类，经验风险最小化也被认为是NP难题。 ^[2]但是，当最小经验风险为零（即数据是线性可分离的）时，可以有效解决。

在实践中，机器学习算法可以通过对0-1损失函数（例如SVM的铰链损失）采用凸近似来解决该问题，这种方法更容易优化，或者对分布进行假设${\displaystyle P(x,y)}$  （因此不再是上述结果适用的不可知论学习算法）。

• 最大似然估计
• M估计器

• Vapnik, V. The Nature of Statistical Learning Theory. Information Science and Statistics. Springer-Verlag. 2000. ISBN 978-0-387-98780-4.  Vapnik, V. The Nature of Statistical Learning Theory. Information Science and Statistics. Springer-Verlag. 2000. ISBN 978-0-387-98780-4.  Vapnik, V. The Nature of Statistical Learning Theory. Information Science and Statistics. Springer-Verlag. 2000. ISBN 978-0-387-98780-4.