手征对称性

假设上夸克 ${\displaystyle u}$  与下夸克 ${\displaystyle d}$  的质量为零，则这两个夸克组成的物理系统的拉格朗日量为

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {u}}\,i\displaystyle {\not }D\,u+{\overline {d}}\,i\displaystyle {\not }D\,d}$  ；

其中，${\displaystyle u}$  与 ${\displaystyle d}$  分别为上夸克与下夸克的狄拉克旋量（Dirac spinor），${\displaystyle {\overline {u}}\ {\stackrel {def}{=}}\ u^{\dagger }\gamma ^{0}}$  与 ${\displaystyle {\overline {d}}\ {\stackrel {def}{=}}\ d^{\dagger }\gamma ^{0}}$  分别为它们的伴随旋量，${\displaystyle \displaystyle {\not }D}$  是协变导数，${\displaystyle \gamma ^{0}}$  是第零个狄拉克矩阵。

狄拉克旋量 ${\displaystyle \psi }$  可以按照手征性分解为左手狄拉克旋量 ${\displaystyle \psi _{L}}$  与右手狄拉克旋量 ${\displaystyle \psi _{R}}$  ︰

${\displaystyle \psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi }$  、

${\displaystyle \psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi }$  ；

其中，${\displaystyle \gamma ^{5}}$  是第五个狄拉克矩阵，${\displaystyle (1\mp \gamma ^{5})/2}$  是投影算符，可以挑选出狄拉克旋量的左手部分或右手部分。

拉格朗日量以左手狄拉克旋量与右手狄拉克旋量表示为

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {u}}_{L}\,i\displaystyle {\not }D\,u_{L}+{\overline {u}}_{R}\,i\displaystyle {\not }D\,u_{R}+{\overline {d}}_{L}\,i\displaystyle {\not }D\,d_{L}+{\overline {d}}_{R}\,i\displaystyle {\not }D\,d_{R}}$  。

定义狄拉克旋量二重态为

${\displaystyle q=\left({\begin{matrix}u\\d\end{matrix}}\right)}$  。

重写狄拉克旋量为

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {q}}_{L}\,i\displaystyle {\not }D\,q_{L}+{\overline {q}}_{R}\,i\displaystyle {\not }D\,q_{R}}$ 。

分别对 ${\displaystyle q_{L}}$  、${\displaystyle q_{R}}$  用2 x 2 么矩阵 L、R做旋转变换，则拉格朗日量不变。这种对称性称为“手征对称性”。这种变换为U(2)_L× U(2)_R变换，可以分解为SU(2)_L×SU(2)_R×U(1)_V×U(1)_A变换。^[2]

U(1)_V变换的方式为

${\displaystyle q_{L}\rightarrow e^{i\theta }q_{L}\qquad q_{R}\rightarrow e^{i\theta }q_{R}}$ 。

拉格朗日量对于这变换的对称性关系到强子数量守恒。

U(1)_A变换的方式为

${\displaystyle q_{L}\rightarrow e^{i\theta }q_{L}\qquad q_{R}\rightarrow e^{-i\theta }q_{R}}$ 。

拉格朗日量对于U(1)_A变换的对称性在量子层级被打破，这是一个明显对称性破缺，这结果称为U(1)轴反常。

剩下的手征对称性SU(2)_L×SU(2)_R会因夸克凝聚被自发打破为向量子群SU(2)_V，称为同位旋。根据戈德斯通定理，当连续对称性被自发打破后必会生成一种零质量玻色子，称为戈德斯通玻色子。手征对称性也是连续对称性，它的戈德斯通玻色子是π介子。对应于这三个生成子的戈德斯通玻色子为π介子。实际而言，由于上夸克与下夸克的质量都很微小。SU(2)_L×SU(2)_R只是一个近似对称性。因此，π介子具有些微质量，是准戈德斯通玻色子（pseudo-Goldstone boson）。^[3]

• 手征对称性破缺

• To see a summary of the differences and similarities between chirality and helicity (those covered here and more) in chart form, one may go to Pedagogic Aids to Quantum Field Theory （页面存档备份，存于互联网档案馆） and click on the link near the bottom of the page entitled "Chirality and Helicity Summary". To see an in depth discussion of the two with examples, which also shows how chirality and helicity approach the same thing as speed approaches that of light, click the link entitled "Chirality and Helicity in Depth" on the same page.
• History of science: parity violation
• Helicity, Chirality, Mass, and the Higgs （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Quantum Diaries blog)
• Chirality vs helicity chart （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Robert D. Klauber)