狄拉克场表示成
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
。其自由场的运动方程式为狄拉克方程式 :
(
i
γ
μ
∂
μ
−
m
)
ψ
(
x
)
=
0.
{\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi (x)=0.\,}
其中
γ
μ
{\displaystyle \gamma ^{\mu }\,}
为γ矩阵 (或称作狄拉克矩阵 ),m 代表质量。这个方程式最简单的解为平面波
ψ
1
(
x
)
=
u
(
p
)
e
−
i
p
.
x
{\displaystyle \psi _{1}(x)=u(p)e^{-ip.x}\,}
和
ψ
2
(
x
)
=
v
(
p
)
e
i
p
.
x
{\displaystyle \psi _{2}(x)=v(p)e^{ip.x}\,}
。平面波组成了一个
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
的傅立叶基底。我们能以此基底作展开,如下:
ψ
(
x
)
=
∫
d
3
p
(
2
π
)
3
1
2
E
p
∑
s
(
a
p
s
u
s
(
p
)
e
−
i
p
⋅
x
+
b
p
s
†
v
s
(
p
)
e
i
p
⋅
x
)
.
{\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\textbf {p}}^{s}u^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\textbf {p}}^{s\dagger }v^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}
a
{\displaystyle a\,}
、
b
{\displaystyle b\,}
标示了旋量的指标,
s
{\displaystyle s\,}
表示自旋,s = +1/2或s=−1/2。前面系数中的能量是为了劳伦兹积分的协变性 。由于
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)\,}
可以视作一个算符 ,每个傅立叶基底的系数也必须是算符。因此,
a
p
s
{\displaystyle a_{\textbf {p}}^{s}}
以及
b
p
s
†
{\displaystyle b_{\textbf {p}}^{s\dagger }}
为作用子。这些算符的性质可以从这些场的性质中得知。
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)\,}
和
ψ
(
y
)
†
{\displaystyle \psi (y)^{\dagger }}
遵守反对易关系:
{
ψ
a
(
x
)
,
ψ
b
†
(
y
)
}
=
δ
(
3
)
(
x
−
y
)
δ
a
b
,
{\displaystyle \{\psi _{a}({\textbf {x}}),\psi _{b}^{\dagger }({\textbf {y}})\}=\delta ^{(3)}({\textbf {x}}-{\textbf {y}})\delta _{ab},}
借由将
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)\,}
和
ψ
(
y
)
{\displaystyle \psi (y)\,}
作展开,我们可以得到系数间的反对易关系:
{
a
p
r
,
a
q
s
†
}
=
{
b
p
r
,
b
q
s
†
}
=
(
2
π
)
3
δ
3
(
p
−
q
)
δ
r
s
,
{\displaystyle \{a_{\textbf {p}}^{r},a_{\textbf {q}}^{s\dagger }\}=\{b_{\textbf {p}}^{r},b_{\textbf {q}}^{s\dagger }\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}({\textbf {p}}-{\textbf {q}})\delta ^{rs},\,}
于非相对论系统中的创造与湮灭算符相类似,从这个代数关系得到了这样的物理诠释:
a
p
s
†
{\displaystyle a_{\textbf {p}}^{s\dagger }}
产生一个动量
p
{\displaystyle {\textbf {p}}\,}
自旋为s的粒子,而
b
q
r
†
{\displaystyle b_{\textbf {q}}^{r\dagger }}
产生一个动量
q
{\displaystyle {\textbf {q}}\,}
自旋为r的反粒子。因此,广义的
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)\,}
现在看作产生所有可能动量、自旋之粒子的总合,而其共轭
ψ
¯
=
d
e
f
ψ
†
γ
0
{\displaystyle {\bar {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}
与其相反,看作湮灭所有动量、自旋之反粒子的总合。
有了对于场及其共轭的了解,我们便能试着架构出劳仑兹协变性 的场。最单纯的量为
ψ
¯
ψ
{\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,}
,当中
ψ
¯
=
ψ
†
γ
0
{\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}
。其他可能的劳仑兹协变性量
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
{\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }
。
由于这些量的线性组和同样符合劳仑兹协变性,很自然地得到了狄拉克场的拉格朗日密度 ,并且其欧拉-拉格朗日方程 必须回到狄拉克方程式 。
L
D
=
ψ
¯
(
i
γ
μ
∂
μ
−
m
)
ψ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi \,}
这样的表示将指标隐藏了起来。完整的表示如下:
L
D
=
ψ
¯
a
(
i
γ
a
b
μ
∂
μ
−
m
I
a
b
)
ψ
b
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\bar {\psi }}_{a}(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab})\psi _{b}\,}
由
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
,我们可以建构出狄拉克场的费曼传播子 :
D
F
(
x
−
y
)
=
⟨
0
|
T
(
ψ
(
x
)
ψ
¯
(
y
)
)
|
0
⟩
{\displaystyle D_{F}(x-y)=\langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))|0\rangle }
我们定义狄拉克场的时间排序如下,当中的负号来自于其反对易关系的性质:
T
(
ψ
(
x
)
ψ
¯
(
y
)
)
=
d
e
f
θ
(
x
0
−
y
0
)
ψ
(
x
)
ψ
¯
(
y
)
−
θ
(
y
0
−
x
0
)
ψ
¯
(
y
)
ψ
(
x
)
{\displaystyle T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \theta (x^{0}-y^{0})\psi (x){\bar {\psi }}(y)-\theta (y^{0}-x^{0}){\bar {\psi }}(y)\psi (x)}
。对上列的式子作平面波的展开,得到:
D
F
(
x
−
y
)
=
∫
d
4
p
(
2
π
)
4
i
(
p
/
+
m
)
p
2
−
m
2
+
i
ϵ
e
−
i
p
⋅
(
x
−
y
)
{\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}}
在此我们用上了费曼斜线标记 。这个式子相当合理,因为系数
i
(
p
/
+
m
)
p
2
−
m
2
{\displaystyle {\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}}}}
即为狄拉克方程式中作用在
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)\,}
的相反算符。
标量场 的费曼传播子也具有相同的性质。由于所有合理的观测量(例如能量、电荷、粒子数等)都由偶数的狄拉克场所构成,两个观测量的对易关系在光锥 外为零。就如同我们从量子力学 中学习到的,两的可交换的观察量可以同时被观测。因此,我们确定了狄拉克场的劳仑兹协变性 ,并维持了因果律 。
而更复杂、包含交互作用的场论(汤川理论 (Yukawa theory)或量子电动力学 )同样可以微扰 或非为扰方法作分析。
在粒子物理标准模型 中,狄拉克场扮演很重要的要素。