库默尔定理

数学里,库默尔定理能计算给出的二项式的系数p-adic赋值英语P-adic valuation,即含p的幂次。 本定理以恩斯特·库默尔命名。

定理

库默尔定理指出,给定整数  和一个质数  , p-adic赋值   等于以   基底  进位次数。

例子

要计算  ,写出    的二进制表示   。进行二进制加法   需要进位三次。 故   中 2 的次数是 3。


求具有下述性质的所有整数 :存在无穷多个正整数 ,使得 不整除  [1]

解 ∵  ,

  是整数,

  对任意正整数 成立,从而 1 不满足要求.

 时,取  为奇素数, ),满足要求.

 时,取 的一个素因子 ,选取正整数 使得  ,令  ,我们证明:   不整除  .

  最多进位 次. 由库默尔定理, 

 ,∴  不整除 .

从而存在无穷多个 满足要求.

综上, 是任意不为1的整数.

证明

将组合数 写成  根据勒让德定理,它所含 的幂次数为

 
 等于  进制表示下,截去末 位得到的数,因此
 
最后对 求和,就是  进制下的进位次数。

多项系数的一般化

库默尔定理,可以推广到 多项系数   :

将   为基底写做  和定义    基底的数位和。 则

 .


参见

  • 卢卡斯定理

参考文献

  • Kummer, Ernst. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1852, 44: 93–146. doi:10.1515/crll.1852.44.93. 

[2]

  1. ^ 刘培杰; 张佳. 库默尔定理——从一道IMO预选题谈起. d.wanfangdata.com.cn. [2022-03-08]. doi:10.3969/j.issn.1005-6416.2017.09.004. (原始内容存档于2022-06-12). 
  2. ^ 存档副本. [2020-07-31]. (原始内容存档于2021-04-18).