在数学里,库默尔定理能计算给出的二项式的系数的p-adic赋值,即含p的幂次。 本定理以恩斯特·库默尔命名。
定理
库默尔定理指出,给定整数 和一个质数 , p-adic赋值 等于以 为基底时 加 的进位次数。
例子
要计算 ,写出 和 的二进制表示 和 。进行二进制加法 需要进位三次。 故 中 2 的次数是 3。
求具有下述性质的所有整数 :存在无穷多个正整数 ,使得 不整除 。[1]
解 ∵ ,
∴ 是整数,
∴ 对任意正整数 成立,从而 1 不满足要求.
当 时,取 ( 为奇素数, ),满足要求.
当 时,取 的一个素因子 ,选取正整数 使得 ,令 ,我们证明:
不整除 .
最多进位 次. 由库默尔定理, ,
∵ ,∴ 不整除 .
从而存在无穷多个 满足要求.
综上, 是任意不为1的整数.
证明
将组合数 写成
根据勒让德定理,它所含 的幂次数为
等于 在 进制表示下,截去末 位得到的数,因此
最后对 求和,就是 在 进制下的进位次数。
多项系数的一般化
库默尔定理,可以推广到 多项系数 :
将 以 为基底写做 和定义 是 基底的数位和。 则
.
参见
参考文献