差立方差立方是数学公式的一种,它属于因式分解、乘法公式及恒等式,被普遍使用。差立方是指一个数项,减去另一个数项后,得出来的差的立方: ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 {\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!} 验证 主验证 差立方可直接计算验证: ( a − b ) 3 {\displaystyle (a-b)^{3}\,\!} = ( a − b ) ( a − b ) ( a − b ) {\displaystyle =(a-b)(a-b)(a-b)\,\!} = a ( a − b ) ( a − b ) − b ( a − b ) ( a − b ) {\displaystyle =a(a-b)(a-b)-b(a-b)(a-b)\,\!} = ( a 2 − a b ) ( a − b ) − ( a b + b 2 ) ( a − b ) {\displaystyle =(a^{2}-ab)(a-b)-(ab+b^{2})(a-b)\,\!} = a ( a 2 − a b ) − b ( a 2 − a b ) − a ( a b − b 2 ) + b ( a b − b 2 ) {\displaystyle =a(a^{2}-ab)-b(a^{2}-ab)-a(ab-b^{2})+b(ab-b^{2})\,\!} = a 3 − a 2 b − a 2 b + a b 2 − a 2 b + a b 2 + a b 2 − b 3 {\displaystyle =a^{3}-a^{2}b-a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b+ab^{2}+ab^{2}-b^{3}\,\!} = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 {\displaystyle =a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!} 以上计算方式便可证明: ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 {\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!} 运用差平方 差立方亦可运用差平方验证,首先要知道差平方的公式是: ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!} 然后,利用差平方计算出差立方: ( a − b ) 3 {\displaystyle (a-b)^{3}\,\!} = ( a − b ) 2 ( a − b ) {\displaystyle =(a-b)^{2}(a-b)\,\!} = ( a 2 − 2 a b + b 2 ) ( a − b ) {\displaystyle =(a^{2}-2ab+b^{2})(a-b)\,\!} = a ( a 2 − 2 a b + b 2 ) − b ( a 2 − 2 a b + b 2 ) {\displaystyle =a(a^{2}-2ab+b^{2})-b(a^{2}-2ab+b^{2})\,\!} = a 3 − 2 a 2 b + a b 2 − a 2 b + 2 a b 2 − b 3 {\displaystyle =a^{3}-2a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b+2ab^{2}-b^{3}\,\!} 以上计算方式便可证明: ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 {\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!}