尺规作图
尺规作图三等分角已被证实不可行,其也与三分之一角公式非规矩数的推导有关,其证明如下:设可以用尺规作图将任意角三等分,代表对任意角度是 的角,均可以由尺规作图得到 角度为 的角。这等价于说在已知单位长度和 的时候能做出 的长度。设L是包含了 和单位长度1的域。用尺规作图可以得到 ,说明域扩张的阶数是2的幂次:
-
然而根据三倍角公式:
- 。
运用多项式的知识可以证明, 在L中的最小多项式的阶数必定不大于3,也就是说是1,2或者3[1]:512。比如说当角度 时,L就是 ( )三倍角公式变成:
- ,即是:
-
这个多项式不可约,所以这个方程的解不属于有理数集 ,所以可以证明 。[2]然而3不是2的幂次,这和之前的结论矛盾。如此便说明,无法用尺规作图将任意角三等分[1]:525-526。
而上述三次方程透过三次方程求根公式[3]求出来的解即为三分之一角公式。
公式
- 利用三倍角公式
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把它改为:
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把 当成未知数, 当成常数项,解一元三次方程式即可求出
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- 当-90°≤ ≤90°时
- 当90°≤ ≤450°时
- 当450°≤ ≤630°时
- 当630°≤ ≤990°时
简化
利用欧拉公式可以有效地简化三分之一角公式
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- 所以
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参见
参考文献