麦克劳林不等式

数学中，麦克劳林不等式（Maclaurin's inequality），以科林·麦克劳林冠名，是算术几何平均不等式的加细。

设 a₁, a₂, ..., a_n 是正实数，对 k = 1, 2, ..., n 定义平均 S_k 为

${\displaystyle S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}.}$

这个分式的分子是度数为 n 变元 a₁, a₂, ..., a_n 的 k 阶基本对称多项式，即 a₁, a₂, ..., a_n 中指标递增的任意 k 个数乘积之和。分母是分子的项数，二项式系数 ${\displaystyle \scriptstyle {n \choose k}}$。

麦克劳林不等式是如下不等式链：

${\displaystyle S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}\geq {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geq \cdots \geq {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}$

等号成立当且仅当所有 a_i 相等。

对 n = 2，这个给出两个数通常的几何算术平均不等式。n = 4 的情形很好地展示了麦克劳林不等式:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\\\\&{}\geq {\sqrt {\frac {a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{1}a_{4}+a_{2}a_{3}+a_{2}a_{4}+a_{3}a_{4}}{6}}}\\\\&{}\geq {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{4}+a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}a_{4}}{4}}}\\\\&{}\geq {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}}.\end{aligned}}}$