一个简洁的证明是利用数学分析中的罗尔定理。设有n 个实数: 。构造以 为根的多项式:
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这个多项式可以写成:
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首先证明:存在另一组n-1 个实数: ,使得它们的基本对称均值 恰好就是原来n 个实数的基本对称均值中的前n-1 个: 。
具体的方法是考察多项式P的导数多项式 。根据罗尔定理,如果两个实数 和 不相同,那么他们之间必然存在一个数 使得 。而如果 是多项式P的一个j 次重根的话,那么它也是 的k-1 次重根。所以, 一定有n-1 个实根。设这些实根等于 ,那么:
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而同时:
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对比两边系数,就可以得到:
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然而组合数中:
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所以等式变成:
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这样便找到了n-1 个实数来“代替”原来的n 个实数,使得基本对称均值的前n-1 个都不变。这样子,对于任意的 ,经过若干次变换后,可以转化成k+1 个实数,使得基本对称均值 变成最“靠边”的那一项。实际上,以上的转换说明:只需要证明
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这一项就行了。
下面证明这一点。首先,如果 中有一个是0,那么不等式左边的 ,所以左边等于0,显然小于右边。而如果 中没有一个是0的话,那么由于这个不等式是齐次不等式,所以可以假设 。这样的话,不等式就变成:
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也就是
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最后的不等式是均方不等式,必然成立。于是不等式得证。
另一种证明方法涉及到一个高等数学中的结论作为引理:如果对于关于两个变元的齐次多项式
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存在实数 ,使得当 时就会有 ,那么这个多项式的任意次数的偏导数(仍然是齐次多项式)构成的方程:
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也会满足这个条件:存在实数 ,使得当 时就会有
具体的证明是考虑上一节证明中用到的多项式:
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将它改写成关于两个变元的多项式:
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这个多项式满足引理的条件,所以只要考虑它的一个特定的偏导数方程:
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这个方程可以写成
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根据引理,对应二次方程 有两个实根。从而这个方程的判别式大于等于零,也就是说:
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从这个证明可以看出,牛顿不等式也是对应着一个二次方程的判别式条件,如同柯西不等式一样。利用判别式的性质,可以得到一系列类似于牛顿不等式的不等式[1]。