线性扩散问题
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通过克兰克-尼科尔森方法将得到离散方程
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引入变量 :
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这是一个三对角问题,应用三对角矩阵算法(追赶法)即可得到 ,而不需要对矩阵直接求逆。
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离散化后则会得到非线性方程系统。但是某些情况下,通过使用a的旧值,即用 替代 ,可将问题线性化。其他时候,也可能在保证稳定性的基础上使用显式方法估计
一维多通道连接的扩散问题
这种模型可以用于描述水流中含稳定污染流,但只有一维信息的情况。它可以简化为一维问题并得到有价值的信息。
可对水中污染溶质富集的问题进行建模,这种问题由三部分组成:已知的扩散方程( 为常量),平流分量(即由速度场导致的系统在空间上的变化,表示为常量Ux),以及与纵向通道k旁流的相互作用。
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其中C表示污染物的富集水平,下标N和M分别对应上一通道和下一通道。
克兰克-尼科尔森方法(i对应位置,j对应时间)将以上偏微分方程中的每个部分变换为
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现在引入以下常量用于简化计算:
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把 <1>, <2>, <3>, <4>, <5>, <6>, α, β 和 λ 代入 <0>. 把新时间项(j+1)代入到左边,当前时间项(j)代入到右边,将得到
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第一个通道只能与下一个通道(M)有关系,因此表达式可以简化为:
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同样地, 最后一个通道只与前一个通道(N)有关联,因此表达式可以简化为
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为求解此线性方程组,需要知道边界条件在通道始端就已经给定了。
: 当前时间步某通道的初始条件
: 下一时间步某通道的初始条件
: 前一通道到当前时间步下某通道的初始条件
: 下一通道到当前时间步下某通道的初始条件
对于通道的末端最后一个节点,最方便的条件是是绝热近似,则
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当且只当
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时,这一条件才被满足。
以3个通道,5个节点为例,可以将线性系统问题表示为
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其中,
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需要清楚的是,AA和BB是由四个不同子矩阵组成的矩阵,
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其中上述矩阵的的矩阵元对应于下一个矩阵和额外的4x4零矩阵。请注意,矩阵AA和BB的大小为12x12
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- &
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这里的d矢量用于保证边界条件成立。在此示例中为12x1的矢量。
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为了找到任意时间下污染物的聚集情况,需要对以下方程进行迭代计算:
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二维扩散问题
将扩散问题延伸到二维的笛卡尔网格,推导方程类似,但结果会是{{link-en|带形矩阵|Banded matrix||的方程式,不是三角矩阵,二维的热方程
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假设网格满足 的特性,即可通过克兰克-尼科尔森方法将得到离散方程
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此方程可以再重组,配合柯朗数再进行简化
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在克兰克-尼科尔森方法下,不需要为了稳定性而限制柯朗数的上限,不过为了数值稳定度,柯朗数仍不能太高,可以将方程式重写如下:
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