有限差分法
在数学中,有限差分法(finite-difference methods,简称FDM),是一种微分方程数值方法,是通过有限差分来近似导数,从而寻求微分方程的近似解。
由泰勒展开式的推导
首先假设要近似函数的各级导数都有良好的性质,依照泰勒定理,可以形成以下的泰勒展开式:
其中n!表示是n的阶乘,Rn(x)为余数,表示泰勒多项式和原函数之间的差。可以推导函数f一阶导数的近似值:
设定x0=a,可得:
除以h可得:
求解f'(a):
假设 相当小,因此可以将"f"的一阶导数近似为:
准确度及误差
近似解的误差定义为近似解及解析解之间的差值。有限差分法的两个误差来源分别是舍入误差及截尾误差(或称为离散化误差),前者是因为电脑计算小数时四舍五入造成的误差,后者则是用有限阶级数表示导数引起的误差。
在运用有限差分法求解一问题(或是说找到问题的近似解)时,第一步需要将问题的定义域离散化。一般会将问题的定义域用均匀的网格分割(可参考右图)。因此有限差分法会制造一组导数的离散数值近似值。
一般会关注近似解的局部截尾误差,会用大O符号表示,局部截尾误差是指应用有限差分法一次后产生的误差,因此为 ,此时 是实际值,而 为近似值。泰勒多项式的余数项有助于分析局部截尾误差。利用 泰勒多项式的余数项,也就是
- , 其中 ,
可以找到局部截尾误差的主控项,例如用前项差分法计算一阶导数,已知 ,
利用一些代数的处理,可得
注意到左边的量是有限差分法的近似,右边的量是待求解的量再加上一个余数,因此余数就是局部截尾误差。上述范例可以用下式表示:
在此例中,局部截尾误差和时间格点的大小成正比。
范例:常微分方程
例如考虑以下的常微分方程
利用数值方法中欧拉法求解,利用以下的有限差分式
来近似导数,并配合一些代数处理(等号两侧同乘以h,再加上u(x)),可得
最后的方程式即为有限差分方程,求解此方程则可得到原方程的近似解。
范例:热传导方程
- (边界条件)
- (初始条件)
对此问题求数值解的一种方式是用差分去近似所有的导数,可以将空间分割为 ,将时间也分割为 。假设在时间及空间都是均匀的网格切割,空间中两个连续位置的间隔为h,两个连续时间之间的间隔为k。点
表示 的数值近似解。
显式方法
利用在时间 的前向差分,以及在位置 的二阶中央差分(FTCS 格式),可以得到以下的迭代方程:
这是用求解一维导热传导方程的显式方法。
可以用以下的式子求解
其中
因此配合此迭代关系式,已知在时间n的数值,可以求得在时间n+1的数值。 及 的数值可以用边界条件代入,在此例中为0。
此显式方法在 时,为数值稳定且收敛[1]。其数值误差和时间间隔成正比,和位置间隔的平方成正比:
隐式方法
若使用时间 的后向差分,及位置 的二阶中央差分(BTCS 格式),可以得到以下的迭代方程:
这是用求解一维导热传导方程的隐式方法。
在求解线性联立方程后可以得到 :
此方法不论 的大小,都数值稳定且收敛,但在计算量会较显式方法要大,因为每前进一个时间间隔,就需要求解一个联立的数值方程组。其数值误差和时间间隔成正比,和位置间隔的平方成正比:
克兰克-尼科尔森方法
若使用时间 的中间差分,及位置 的二阶中央差分(CTCS 格式),可以得到以下的迭代方程:
此公式为克兰克-尼科尔森方法(Crank–Nicolson method)。
在求解线性联立方程后可以得到 :
此方法不论 的大小,都数值稳定且收敛,但在计算量会较显式方法要大,因为每前进一个时间间隔,就需要求解一个联立的数值方程组。其数值误差和时间间隔的平方成正比,和位置间隔的平方成正比:
若时间刻度较小时,克兰克-尼科尔森方法是最精确的,而显式方法是最不精确的,而且可能会不稳定,但是是最容易计算的,其数值计算量也最少。若时间刻度较大时,隐式方法的效果最好。
相关条目
参考资料
- ^ Crank, J. The Mathematics of Diffusion. 2nd Edition, Oxford, 1975, p. 143.
- K.W. Morton and D.F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction. Cambridge University Press, 2005.
- Oliver Rübenkönig, The Finite Difference Method (FDM) - An introduction, (2006) Albert Ludwigs University of Freiburg
- Autar Kaw and E. Eric Kalu, Numerical Methods with Applications, (2008) [1] (页面存档备份,存于互联网档案馆)
外部链接
- Finite-Difference Method (see and listen to lecture 9)
- List of Internet Resources for the Finite Difference Method for PDEs
- Finite Difference Method of Solving ODEs (Boundary Value Problems) Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Lecture Notes Shih-Hung Chen, National Central University
- Randall J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations (页面存档备份,存于互联网档案馆), SIAM, 2007.
- Finite Difference Method
- Finite Difference Method for Boundary Value Problems (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Finite Difference Methodology in Materials Science
- Numerical Methods for time-dependent Partial Differential Equations (页面存档备份,存于互联网档案馆)