热传导方程

热传导在三维的各向同性介质里的传播可用以下方程表达：

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}=\mathrm {div} (Uu)=k\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}\right)=k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})\quad }$ 

其中：

• u =u(t, x, y, z)表温度，它是时间变数t与空间变数(x,y,z)的函数。
• ${\displaystyle {\partial u}}$ /${\displaystyle {\partial t}}$ 是空间中一点的温度对时间的变化率。
• ${\displaystyle u_{xx}}$ , ${\displaystyle u_{yy}}$ 与${\displaystyle u_{zz}}$ 温度对三个空间坐标轴的二次导数。
• k是热扩散率，决定于材料的热导率、密度与热容。

热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。

利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式

${\displaystyle u_{t}=k\Delta u,\quad }$ 

其中的${\displaystyle \Delta }$ 是对空间变数的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电势。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-Uhlenbeck过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。

就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达一个“扰动可以在瞬间传播至空间各处”的情况。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。

以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。先考虑只有一个空间变数的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下：

${\displaystyle (1)\ u_{t}=ku_{xx}\quad }$ 

其中u = u(t, x)是t和x的双变数函数。

• x是空间变数，所以x ∈ [0,L]，其中L表示棍子长度。
• t是时间变数，所以t ≥ 0。

假设下述初始条件

${\displaystyle (2)\ u(0,x)=f(x)\quad \forall x\in [0,L]\quad }$ 

其中函数f是给定的。再配合下述边界条件

${\displaystyle (3)\ u(t,0)=0=u(t,L)\quad \forall t>0\quad }$ .

让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件(3)并具备以下形式：

${\displaystyle (4)\ u(t,x)=X(x)T(t).\quad }$ 

这套技术称作分离变数法。现在将u代回方程(1)，

${\displaystyle {\frac {T'(t)}{kT(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.\quad }$ 

由于等式右边只依赖x，而左边只依赖t，两边都等于某个常数− λ，于是：

${\displaystyle (5)\ T'(t)=-\lambda kT(t)\quad }$ 

${\displaystyle (6)\ X''(x)=-\lambda X(x).\quad }$ 

以下将证明(6)没有λ ≤ 0的解：

假设λ < 0，则存在实数B、C使得

${\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}}$ 。

从(3)得到

${\displaystyle X(0)=0=X(L).\quad }$ 

于是有B = 0 = C，这蕴含u恒等于零。

假设λ = 0，则存在实数B、C使得

${\displaystyle X(x)=Bx+C.\quad }$ 

仿上述办法可从等式(3)推出u恒等于零。

因此必然有λ > 0，此时存在实数A、B、C使得

${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda kt}\quad }$ 

${\displaystyle X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x)}$ 。

从等式(3)可知C = 0，因此存在正整数n使得

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}}$ 。

由此得到热方程形如(4)的解。

一般而言，满足(1)与(3)的解相加后仍是满足(1)与(3)的解。事实上可以证明满足(1)、(2)、(3)的解由下述公式给出：

${\displaystyle u(t,x)=\sum _{n=1}^{+\infty }D_{n}\left(\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {n^{2}\pi ^{2}kt}{L^{2}}}}}$ 

其中

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx}$ 。

推广求解技巧

上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是：在适当的函数空间上，算子${\displaystyle u\mapsto u_{xx}}$ 可以用它的特征向量表示。这就自然地导向线性自伴算子的谱理论。

考虑线性算子Δ u = u_{x x}，以下函数序列

${\displaystyle e_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$ （n ≥ 1）

是Δ的特征向量。诚然：

${\displaystyle \Delta e_{n}=-{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}e_{n}}$ 。

此外，任何满足边界条件f(0)=f(L)=0的Δ的特征向量都是某个e_n。令L²(0, L)表 [0, L]上全体平方可积函数的向量空间。这些函数e_n构成L²(0, L)的一组正交归一基。更明白地说：

${\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\int _{0}^{L}e_{n}(x)e_{m}(x)dx=\left\{{\begin{matrix}0&n\neq m\\1&m=n\end{matrix}}\right.}$ 

最后，序列{e_n}_{n ∈ N}张出L²(0, L)的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子Δ 对角化。

一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。

• 单位时间内流入区域 V的热量由一个依赖于时间的量q_t(V)给出。假设q有个密度Q(t,x)，于是

${\displaystyle q_{t}(V)=\int _{V}Q(t,x)\,dx\quad }$ 

• 热流是个依赖于时间的向量函数H(x)，其刻划如下：单位时间内流经一个面积为dS而单位法向量为n的无穷小曲面元素的热量是

${\displaystyle \mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS}$ 

因此单位时间内进入V的热流量也由以下的面积分给出

${\displaystyle q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS}$ 

其中n(x)是在x点的向外单位法向量。

• 热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系

${\displaystyle \mathbf {H} (x)=-\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)}$ 

其中A(x)是个3×3实对称正定矩阵。

利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分

${\displaystyle q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS}$ 

${\displaystyle =\int _{\partial V}\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS}$ 

${\displaystyle =\int _{V}\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(t,x)\,dx}$ 

• 温度在x点对时间的改变率与流进x点所在的无穷小区域的热量成正比，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写作κ(x)。

${\displaystyle \partial _{t}u(t,x)=\kappa (x)Q(t,x)\,}$ 

将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。

${\displaystyle \partial _{t}u(t,x)=\kappa (x)\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(t,x)}$ 

注记：

• 系数κ(x)是该材料在x点的密度和比热的积的倒数。

• 在等方向性介质的情况，矩阵A只是个标量，等于材料的导热率。

• 在非等向的情况，A不一定是标量，我们鲜少能明确写出热方程的解。然而通常可考虑相应的抽象柯西问题，证明它是适定的，并（或）导出若干定性结果（诸如初始值保持正性、无穷传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质）。这些论证通常有赖于单参数半群理论：举例来说，如果A是个对称矩阵，那么由

${\displaystyle Au(x):=\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x)}$ 

定义的椭圆算子是自伴而且耗散的，因此由谱定理导出它生成一个单参数半群。

粒子扩散方程

在粒子扩散的模型中，我们考虑的方程涉及

• 在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度，记作c。或者
• 在单一粒子的情况：单一粒子对位置的概率密度函数，记作P。

不同情况下的方程：

${\displaystyle c_{t}=D\Delta c,\quad }$ 

或者

${\displaystyle P_{t}=D\Delta P.\quad }$ 

c与P都是位置与时间的函数。D是扩散系数，它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。

如果扩散系数D依赖于浓度c（或第二种情况下的概率密度P），则我们得到非线性扩散方程。

单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。

如果一个粒子在时间${\displaystyle t=0}$ 时置于${\displaystyle {\vec {R}}={\vec {0}}}$ ，则相应的概率密度函数具有以下形式：

${\displaystyle P({\vec {R}},t)=G({\vec {R}},t)={\frac {1}{(4\pi Dt)^{3/2}}}e^{-{\frac {{\vec {R}}^{2}}{4Dt}}}}$ 

它与概率密度函数的各分量${\displaystyle R_{x}}$ 、${\displaystyle R_{y}}$ 和${\displaystyle R_{z}}$ 的关系是：

${\displaystyle P({\vec {R}},t)={\frac {1}{(4\pi Dt)^{3/2}}}e^{-{\frac {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}+R_{z}^{2}}{4Dt}}}=P(R_{x},t)P(R_{y},t)P(R_{z},t)}$ 

随机变数${\displaystyle R_{x},R_{y},R_{z}}$ 服从平均数为0、变异数为${\displaystyle 2\,D\,t}$ 的正态分布。在三维的情形，随机向量${\displaystyle {\vec {R}}}$ 服从平均数为${\displaystyle {\vec {0}}}$ 、变异数为${\displaystyle 6\,D\,t}$ 的正态分布。

在t=0时，上述${\displaystyle P({\vec {R}},t)}$ 的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件，其概率密度函数是在原点的狄拉克δ函数，记为${\displaystyle \delta ({\vec {R}})}$ （三维的推广是${\displaystyle \delta ({\vec {R}})=\delta (R_{x})\delta (R_{y})\delta (R_{z})}$ ）；扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。

扩散方程的历史源流

粒子扩散方程首先由Adolf Fick于1855年导得。

以格林函数解扩散方程

格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解）。当粒子初始位置在原点${\displaystyle {\vec {0}}}$ 时，相应的格林函数记作${\displaystyle G({\vec {R}},t)}$ （t>0）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始位置${\displaystyle {\vec {R}}^{0}}$ ，相应的格林函数是${\displaystyle G({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0},t)}$ 。

对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。

举例来说，设t=0时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值${\displaystyle c({\vec {R}},0)}$ 分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。

跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加：

${\displaystyle c({\vec {R}},t=0)=\int c({\vec {R}}^{0},t=0)\delta ({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0})dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0}}$ 

扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻t，浓度分布变为：

${\displaystyle c({\vec {R}},t)=\int c({\vec {R}}^{0},t=0)G({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0},t)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0}}$ 

在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都有这种表法，包括热传导或动量的扩散；后者关系到流体的黏性现象。

一维格林函数解列表

以下以简写BC代表边界条件，IC代表初始条件。

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}}$ 

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&\,0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\\u(0,t)=0&BC\end{cases}}}$ 

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right)g(y)\,dy}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&\,0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\\u_{x}(0,t)=0&BC\end{cases}}}$ 

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right)g(y)\,dy}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\end{cases}}}$ 

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)f(s)\,dyds}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\\u(0,t)=0&BC\end{cases}}}$ 

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dyds}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\\u(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}}$ 

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}{\frac {x}{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds}$ 

（可能的问题：根据上解，u(0)=0）

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}}$ 

${\displaystyle \quad {u=w+v}}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx}\,&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\v(x,0)=0,\,w(x,0)=g(x)\,&IC\end{cases}}}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\\u(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}}$ 

${\displaystyle \quad {u=w+v+r}}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx},\,r_{t}=kr_{xx}\,&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\v(x,0)=0,\;w(x,0)=g(x),\;r(x,0)=0&IC\\v(0,t)=0,\;w(0,t)=0,\;r(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}}$ 

热方程在许多现象的数学模型中出现，而且常在金融数学中作为期权的模型出现。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程可以转成热方程，并从此导出较简单的解。许多简单期权的延伸模型没有解析解，因此必须以数值方法计算模型给出的定价。热方程可以用Crank-Nicolson法有效地求数值解，此方法也可用于许多无解析解的模型（详见文献Wilmott，1995）。

热方程在流形上的推广是处理阿蒂亚-辛格指标定理的主要工具之一，由此也导向热方程在黎曼几何中有许多应用。

• 热
• 偏微分方程
• 发展方程

• Einstein, A. "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen." Ann. Phys. 17, 549, 1905. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• Wilmott P., Howison S., Dewynne J. (1995)The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction. Cambridge University Press.

• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. 编辑
  • 热方程的推导 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  • Linear heat equations （页面存档备份，存于互联网档案馆）:边界值问题的特解 - 来自EqWorld